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| Aufgabe | Für welches x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren die folgenden Potenzreihen?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n [/mm] |
Hi,
ich hab versucht den Konvergenzradius mit dem Wurzelkriterium zu lösen jedoch hänge ich an der Stelle:
[mm] \sqrt[n]{\frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n} [/mm] = [mm] \frac{3}{\sqrt[2n]{(4n+5)}\sqrt{5}}x \underbrace{\to}_{n\to\infty} \frac{3x}{\sqrt{5}}
[/mm]
richtig?
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Hallo DrNetwork,
> Für welches x [mm]\in \IR[/mm] konvergieren die folgenden
> Potenzreihen?
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hi,
>
> ich hab versucht den Konvergenzradius mit dem
> Wurzelkriterium zu lösen jedoch hänge ich an der Stelle:
>
> $\sqrt[n]{\left{\red{|}}\frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n\right{\red{|}}} = \frac{3}{\sqrt[2n]{(4n+5)}\sqrt{5}}\red{|}x\red{|} \underbrace{\to}_{n\to\infty} \frac{3\red{|}x\red{|}}{\sqrt{5}}$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> richtig?
Ja, und das konvergiert doch gem. WK, falls $\frac{3|x|}{\sqrt{5}}<1$, also $|x|<\frac{\sqrt{5}}{3}$
Und divergiert entsprechend für $|x|>\frac{\sqrt{5}}{3}$
Bleiben die Randpunkte $x=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$ zu untersuchen.
Setze sie in die Reihe ein und untersuche auf Konvergenz
LG
schachuzipus
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> [mm]\sqrt[n]{\left{\red{|}}\frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n\right{\red{|}}} = \frac{3}{\sqrt[2n]{(4n+5)}\sqrt{5}}\red{|}x\red{|} \underbrace{\to}_{n\to\infty} \frac{3\red{|}x\red{|}}{\sqrt{5}}[/mm]
Ah, ich hab de Betragsstriche weggelassen weil ich dachte die Reihe ist sowieso positiv, darf man aber nicht?
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Hallo nochmal,
> >
> [mm]\sqrt[n]{\left{\red{|}}\frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}x^n\right{\red{|}}} = \frac{3}{\sqrt[2n]{(4n+5)}\sqrt{5}}\red{|}x\red{|} \underbrace{\to}_{n\to\infty} \frac{3\red{|}x\red{|}}{\sqrt{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ah, ich hab de Betragsstriche weggelassen weil ich dachte
> die Reihe ist sowieso positiv,
Wieso das?
Was ist mit negativen x?
> darf man aber nicht?
Nein, darf man nicht ... 
Für Potenzreihen gibt es ein eigenes Kriterium in Anlehnung an und hergeleitet aus dem WK, mit dem man den Konvergenzradius berechnen kann (es ergibt sich genau das, was du berechnet hast)
Es nennt sich Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Gem. diesem Kritereium berechnet sich der Konvergenzradius $\rho$ einer Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ als
$\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ mit den Festlegungen $\frac{1}{0}:=\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$
Danach hat man Konvergenz für $|x-x_0|<\rho$ und Divergenz für $|x-x_0|>\rho$, die Randpunkte $|x-x_0|=\rho$ müssen gesondert untersucht werden.
Also genau wie bei dem "langen" Weg von dir 
LG
schachuzipus
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Hi,
danke schachuzipus, hab dann weitergerechnet:
Sei |x| = [mm] \frac{\sqrt{5}}{3}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}|x|^n [/mm] => [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}
[/mm]
wenn ich das jetzt richtig Verstanden hab muss ich nun von dieser "neuen" Reihe noch mal die Konvergenz zeigen. Frage 1: was sagt dann die Konvergenz/Divergenz für die ursprüngliche Reihe aus?
Nochmal Wurzelkriterium hat nicht funktioniert, aber mit dem Quotientenkriterium bin ich im Prinzip weitergekommen:
[mm] \frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}} \Rightarrow \frac{\frac{3^{n}}{\sqrt{(4n+9)5^{-n}}}}{\frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}} [/mm] = [mm] \frac{3^{n}\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}{3^{n-1}\sqrt{(4n+9)5^{-n}}} [/mm] = [mm] 3\sqrt{5}*\frac{\sqrt{4n+5}}{\sqrt{4n+9}} [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 3\sqrt{5}*\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}{\sqrt{4+\frac{9}{n}}} [/mm] = [mm] 3\sqrt{5}
[/mm]
richtig? Wenn's stimmt dann divergiert das und nun?
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> danke schachuzipus, hab dann weitergerechnet:
>
> Sei |x| = [mm]\frac{\sqrt{5}}{3}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}}|x|^n[/mm] =>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}[/mm]
Was ist hier passiert?
Du hast doch [mm] $x^n$ [/mm] in der Reihe stehen, da musst du auch [mm] $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^n$ [/mm] einsetzen.
Dann kürzt sich immens viel weg und du findest leicht eine divergente Minorante.
Für den Fall [mm] $x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ [/mm] denke an das Leibnizkrit.
> wenn ich das jetzt richtig Verstanden hab muss ich nun von
> dieser "neuen" Reihe noch mal die Konvergenz zeigen.
Das müsstest du, allerdings ist die Reihe falsch
> Frage
> 1: was sagt dann die Konvergenz/Divergenz für die
> ursprüngliche Reihe aus?
Nun, mit dem zuächst berchneten Konvergenzradius [mm] $\rho=\frac{\sqrt{5}}{3}$ [/mm] hast du Konvergenz für [mm] $|x|<\rho$
[/mm]
Das heißt also für [mm] $x\in\left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ [/mm] und Divergenz entsprechend für [mm] $|x|>\frac{\sqrt{5}}{3}$
[/mm]
Allerdings kann die Reihe noch an den Rändern des Konvergenzintervalles konvergieren (muss aber nicht)
Hier konvergiert sie noch für [mm] $x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$, [/mm] divergiert aber am anderen Rand, also für [mm] $x=\frac{\sqrt{5}}{3}$
[/mm]
Damit hast du dann die Menge aller [mm] $x\in\IR$ [/mm] bestimmt, für die die Ausgangsreihe konvergiert, das sind dann alle [mm] $x\in\left[-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$
[/mm]
>
> Nochmal Wurzelkriterium hat nicht funktioniert, aber mit
> dem Quotientenkriterium bin ich im Prinzip weitergekommen:
>
> [mm]\frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}} \Rightarrow \frac{\frac{3^{n}}{\sqrt{(4n+9)5^{-n}}}}{\frac{3^{n-1}}{\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}}[/mm]
> =
> [mm]\frac{3^{n}\sqrt{(4n+5)5^{1-n}}}{3^{n-1}\sqrt{(4n+9)5^{-n}}}[/mm]
> = [mm]3\sqrt{5}*\frac{\sqrt{4n+5}}{\sqrt{4n+9}}[/mm] =>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 3\sqrt{5}*\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}[/mm]
> = [mm]3\sqrt{5}[/mm]
>
> richtig? Wenn's stimmt dann divergiert das und nun?
Rechne mit den Hinweisen oben nochmal nach ..
Gruß
schachuzipus
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Hi,
ja ich hab den Exponenten bei [mm] x^n [/mm] übersehen und hatte daher so komische Ergebnisse :)
Du hast mir schon viel geholfen aber ich glaub mir fehlen noch 10-5% Verständnis :)
Wenn ich nun weiterrechne:
[mm] \left| \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}} \right| *\frac{\sqrt{5}^n}{3^n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{4n+5}} [/mm] > [mm] \frac{1}{\sqrt{4n+n}} [/mm] > [mm] \frac{1}{\sqrt{n^2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}
[/mm]
1. Wieso sollte ich eine Folge finden die "nur" die Divergenz beweist?
2. Wo schlägt nun das +,- auf welches du angesprochen hast?
3. Wieso sollte ich nicht größer Abschätzen und eine Majorante suchen?
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Hallo,
> Hi,
>
> ja ich hab den Exponenten bei [mm]x^n[/mm] übersehen und hatte
> daher so komische Ergebnisse :)
>
> Du hast mir schon viel geholfen aber ich glaub mir fehlen
> noch 10-5% Verständnis :)
>
> Wenn ich nun weiterrechne:
>
> [mm]\left| \frac{3^n}{\sqrt{(4n+5)5^n}} \right| *\frac{\sqrt{5}^n}{3^n}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{\sqrt{4n+5}}[/mm] > [mm]\frac{1}{\sqrt{4n+n}}[/mm] >
> [mm]\frac{1}{\sqrt{n^2}}[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm]
>
> 1. Wieso sollte ich eine Folge finden die "nur" die
> Divergenz beweist?
Na, nach dem Einsetzen von [mm] $x=+\frac{\sqrt{5}}{3}$, [/mm] also im 1.Fall (rechter Randpunkt) ergab sich doch ne Reihe der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$, [/mm] da liegt doch Divergenz nahe ...
> 2. Wo schlägt nun das +,- auf welches du angesprochen
> hast?
Setze nun im 2.Fall [mm] $x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ [/mm] ein, also den anderen Randpunkt.
Das gibt die Reihe [mm] $\sum (-1)^n\cdot{}\frac{1}{\sqrt{4n+5}}$ [/mm] oder so (habe den genauen Ausdruck gerade nicht parat
Das ist ne alternierende Reihe, wende also Leibniz an, es wird sich rausstellen, dass das Biest konvergent ist
> 3. Wieso sollte ich nicht größer Abschätzen und eine
> Majorante suchen?
Weil im 1.Fall die Reihe von der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{n^s} [/mm] mit einem $s<1$ ist, das ist was Divergentes ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Di 12.01.2010 | | Autor: | DrNetwork |
[mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \frac{1}{\sqrt{4n+5}}
[/mm]
Nach dem Leibnizkriterium muss die Reihe konvergieren wenn sie monoton fallend ist und ihr Grenzwert 0 beträgt. Also reicht es die zwei Dinge zu zeigen oder?
(1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{|\sqrt{4n+5}|} [/mm] = 0
(2) [mm] |\frac{(-1)^n}{\sqrt{4n+5}}| \ge |\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{4n+9}}|
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{\sqrt{4n+5}} \ge \frac{1}{\sqrt{4n+9}}
[/mm]
Fertig. :) Hat mir sehr viel geholfen vielen Dank nochmal !!!
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| Aufgabe | b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right)^n
[/mm]
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[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{2n^2}{3}}_{=: a_n}\underbrace{\left(x+\frac{3}{2}\right)^n}_{x_0=-\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] \frac{2n^2}{3} \not\to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] divergent
Ist die Aufgabe damit gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Di 12.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
> Ist die Aufgabe damit gelöst?
Nein. Verwende die bekannten Formeln für die Bestimmung des Konvergenzradius.
Gruß
Loddar
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[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{2n^2}{3}}_{=: a_n}\underbrace{\left(x+\frac{3}{2}\right)^n}_{x_0=-\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{\frac{2n^2}{3}} \to [/mm] 1
x = 1 - [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{3}1^n [/mm] => divergent weil keine Nullfolge richtig?
x = -1 - [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2n^2}{3} [/mm] ist doch weiterhin divergent
???
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{2n^2}{3}}_{=: a_n}\underbrace{\left(x+\frac{3}{2}\right)^n}_{x_0=-\frac{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]\sqrt[n]{\frac{2n^2}{3}} \to[/mm] 1
>
> x = 1 - [mm]\frac{3}{2}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{3}1^n[/mm] => divergent weil
> keine Nullfolge richtig?
>
> x = -1 - [mm]\frac{3}{2}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2n^2}{3}[/mm] ist doch
> weiterhin divergent
>
> ???
Ja, also keine Konvergenz auf dem Rand des Konvergenzbereiches.
Gruß
schachuzipus
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aber innerhalb konvergent?
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Hallo,
> aber innerhalb konvergent?
Ja, na sicher doch.
Wenn du für die Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] berechnet hast, so bedeutet das automatisch:
1) Konvergenz für [mm] $|x-x_0|<\rho$, [/mm] also [mm] $x\in(x_0-\rho,x_0+\rho)$ [/mm] und
2) Divergenz für [mm] $|x-x_0|>\rho$, [/mm] also für [mm] $xx_0+\rho$
[/mm]
Allein unklar und gesondert zu prüfen ist es an den Grenzen [mm] $|x-x_0|=\rho$, [/mm] also für [mm] $x=x_0\pm\rho$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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