Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
| Aufgabe | Hallo ich habe gerade probleme bei einer aufgabe:
Bestimmen Sie alle x Elemt von R, für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren:
[mm] \summe_{k=1}^{unendlich} \bruch{(-1)^k}{k}*(\bruch{1}{8} )^k [/mm] * x^(3k)
kann mir jemand tips geben wie ich hier vorgehen kann?
Ich verzweifele an dieser Aufgabe schon seit einigen Stunden. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo Sab25,
> Hallo ich habe gerade probleme bei einer aufgabe:
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> Bestimmen Sie alle x Elemt von R, für welche die folgenden
> Potenzreihen konvergieren:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{unendlich} \bruch{(-1)^k}{k}*(\bruch{1}{8} )^k[/mm]
> * x^(3k)
>
> kann mir jemand tips geben wie ich hier vorgehen kann?
>
Schreibe die gegebene Reihe zunächst um:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k}*(\bruch{1}{8} )^k* x^{3k}= \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k}*(\bruch{1}{8} )^k* \left( \ x^{3} \ \right)^{k}[/mm]
Dann bestimmt Du wie normal den Konvergenzradius r.
Diese Reihe konvergiert dann jedoch für [mm]\vmat{x^{3}} < r[/mm]
> Ich verzweifele an dieser Aufgabe schon seit einigen
> Stunden.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
Aber was für ein kriterium soll ich da jetzt benutzen?
Das [mm] (-1)^k [/mm] sagt mir was von alternierende reihe , aber ich bin mir trotzdem nicht sicher was ich anwenden soll.
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Hallo Sab25,
> Aber was für ein kriterium soll ich da jetzt benutzen?
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> Das [mm](-1)^k[/mm] sagt mir was von alternierende reihe , aber ich
> bin mir trotzdem nicht sicher was ich anwenden soll.
Versuch es mit dem Quotientenkriterium.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
Ich hab mal das Quotientenkriterium angewendet:
an / an+1 = nach dem kürzen bleibt bei mir das übrig:
[mm] \bruch{(k+1)}{k* - \bruch{1}{8} x^3 } [/mm]
Weiter komme ich irgendwie nicht.
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Hallo Sab25,
> Ich hab mal das Quotientenkriterium angewendet:
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> an / an+1 = nach dem kürzen bleibt bei mir das übrig:
>
> [mm] \bruch{(k+1)}{k* - \bruch{1}{8} x^3 }[/mm]
>
Das [mm]x^{3}[/mm] ist hier zuviel.
Bilde nun den Grenzwert [mm]r=\limes_{k \to \infty}{\vmat{\bruch{(k+1)}{k* -\bruch{1}{8}}}[/mm]
Dann konvergiert die Reihe für [mm]\vmat{x^{3}}
> Weiter komme ich irgendwie nicht.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
Warum ist das [mm] x^3 [/mm] zuviel ? Das musst du mir ein wenig genauer erklären.
lim n gegen unendlich [mm] \bruch{k}{-\bruch{1}{8}*k } [/mm] + [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{8}k } [/mm]
Das müsste doch alles gegen 0 gehen oder?
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Hi!
> Warum ist das [mm]x^3[/mm] zuviel ? Das musst du mir ein wenig
> genauer erklären.
Die allgemeine Form einer Potenzreihe lautet:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k\cdot(x-x_0)^k [/mm]
Den Konvergenzradius hast du dir hier mit dem Quotientenkriterium für Reihen Berechnet. Dieses lautet dann:
[mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}|[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k\cdot{} x^{3k}= \summe_{k=1}^{\infty}\underbrace{\bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k}_{\red{\bigg {a_k}}} \cdot{} \left( \ x^{3} \ \right)^{k} [/mm]
Konvergenz liegt dann vor, wenn: [mm] $|x^3|
Divergenz wenn: [mm] $|x^3|>r$
[/mm]
Für [mm] $|x^3|=r$ [/mm] Musst du dein r separat in die Potenzreihe für x
einsetzen und schauen, ob deine resultierende Reihe Konvergent ist oder nicht.
> lim n gegen unendlich [mm]\bruch{k}{-\bruch{1}{8}*k }[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{-\bruch{1}{8}k }[/mm]
>
> Das müsste doch alles gegen 0 gehen oder?
Nein, das solltest du dir noch einmal überlegen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
Ich glaube es müsste gegen - unendlich gehen oder ?
Anders kann ich es mir nicht erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube es müsste gegen - unendlich gehen oder ?
>
> Anders kann ich es mir nicht erklären.
nicht raten bitte - da kommt meistens nix vernünftiges bei raus. Du hattest geschrieben
> lim n gegen unendlich $ [mm] \bruch{k}{-\bruch{1}{8}\cdot{}k } [/mm] $ +
> $ [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{8}k } [/mm] $
Das ist doch schonmal Unsinn: Nicht [mm] $n\,,$ [/mm] sondern [mm] $k\,$ [/mm] läuft unter dem Limeszeichen gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
So, und nun werfe ich Dir mal etwas Licht in Deinen dunklen Wald:
[mm] $$\lim_{k \to\infty}\left(\bruch{\red{k}}{-\bruch{1}{8}\cdot{}\red{k} } +\bruch{1}{-\bruch{1}{8}k }\right)=\lim_{k \to \infty} \frac{1}{-\;\frac{1}{8}}+\lim_{k \to\infty}\frac{1}{-\bruch{1}{8}k }=-8+\lim_{k \to\infty}\frac{-8}{k }$$
[/mm]
Erklär' mir nun mal bitte, wie Du Dir erklären konntest, dass dieser Grenzwert [mm] $-\infty$ [/mm] IST (ein Grenzwert "geht" sowieso nichtmehr, er ist das RESULTAT eines Grenzprozesses, falls wir Konvergenz vorliegen haben).
Also: Wie lautet nun der Grenzwert?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Sab25 |
Oh man das war wirklich blöd sehe ich gerade . Es geht gegen -8.
Also [mm] x^3 [/mm] < -8 und [mm] x^3 [/mm] > -8
Und für den Betrag von [mm] x^3 [/mm] , wo muss ich den genau da -8 einsetzen und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh man das war wirklich blöd sehe ich gerade . Es geht
> gegen -8.
lerne die mathematische Sprache: Der Grenzwert ist [mm] $-8\,,$ [/mm] oder Du sagst, dass der Term (der, der hinter dem Limeszeichen steht) gegen [mm] $-8\,$ [/mm] geht bei [mm] $k\,$ [/mm] gegen unendlich. Was sollte denn "es" sein? Man kann Dich bei Deiner Ausdrucksweise mathematisch zerfleischen, wenn man Dir böses will...
> Also [mm]x^3[/mm] < -8 und [mm]x^3[/mm] > -8
Wirf' keine Fetzen in den Raum, sondern bastel die Puzzelteile zusammen, die Du bekommen hast. Ansonsten verliert jede Übungsaufgabe ihren Sinn, weil Du nie eine komplett lösen wirst:
Bei der Reihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{unendlich} \bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k [/mm] * x^(3k) $
erhält man mittels der Quotientenkriteriums, dass diese konvergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x^3| [/mm] < 8$ und sie divergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x^3| [/mm] > [mm] 8\,.$ [/mm] Das solltest Du erkennnen, wenn Du beim Quotientenkriterium auch mal die Betragsstriche setzt, die da stehen und mit ihnen rechnest.
Was bringt das nun? Nunja: Wegen [mm] $|x^3|=|x|^3$ [/mm] wissen wir dann, dass die zu untersuchende Ausgangsreihe schonmal für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 2=8^{1/3}$ [/mm] konvergiert, und für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| > 2$ divergiert. Also kurzgesagt: Konvergenz auf [mm] $(-2,2)\,$ [/mm] und Divergenz auf [mm] $\IR \setminus [-2,2]=(-\infty,-2) \cup (2,\infty)$ [/mm] wissen wir. Welche (zwei) Fälle für [mm] $x\,$ [/mm] müssen noch separat untersucht werden?
> Und für den Betrag von [mm]x^3[/mm] , wo muss ich den genau da -8
> einsetzen und warum?
Diese komische Nachfrage, deren Sinn ich weder sehe noch verstehe, hat sich vielleicht geklärt,wenn Du Dir nochmal das Quotientenkriterium ganz genau anschaust und Dir anschaust, wie Deine Rechnung dann sauber aufzuschreiben ist!
P.S.
Das gilt übrigens in der Mathematik immer: Du musst eine klare Sprache benutzen, mindestens so klar, dass kleine Missverständnisse, die mal entstehen können, sich schon fast selbst erklären. Und dann musst Du sauber arbeiten, ansonsten verwirrst Du andere - und viel schlimmer: Auch noch Dich selbst!
Gruß,
Marcel
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Hallo Sabine (?),
andere Möglichkeit, die ich hier auch ganz neckig finde ist die des Wurzelkriteriums:
Die Reihe [mm] \summe{a_n} [/mm] konvergiert wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}<1.
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{unendlich} \bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k*x^{3k}
[/mm]
Also ergibt sich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k*x^{3k}|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{(-1)^k}{k}\cdot{}(\bruch{1}{8} )^k*x^{3k}|}=\frac{1}{8}*x^3*\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}=|\frac{1}{8}*x^3|<1
[/mm]
Damit ergibt sich schnell, dass -2<x<2 sein muss.
Was zu überprüfen ist - genauso wie bei dem Quotientenkriterium: Setze x=2 und x=-2 ein und überprüfe, ob Konvergenz vorliegt. Soll heißen: Untersuche den Rand.
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