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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mo 07.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
ich stehe gerade vor einem kleinen Rätsel:
Man nehme eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt...sagen wir [mm] z_o=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Das heißt: für alle komplexen Zahlen innerhalb des offenen Konvergenzkreises um [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] die ich in meine Potenzreihe einsetze, bekomme ich eine unendliche Reihe (sagen wir vom k=1 bis [mm] \infty) [/mm] raus, die konvergiert, also einen Reihenwert besitzt, den ich ausrechnen kann.
Wenn nun aber nach dem Reihenwert für [mm] z=\bruch{1}{2} [/mm] gefragt ist, und man [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einsetzen würde in die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n (z-\bruch{1}{2}), [/mm] käme ja 0 raus. Das ist nicht Sinn der Sache.
Ich habe in Lösungen gelesen, dass man für z=Entwicklungspunkt einfach das erste Reihenglied der Reihe als Reihenwert für dieses z nimmt.
Warum?
Das check ich nicht, weil in der Beziehung z und k zwei verschiedene Schuhe sind.
Für jedes z, das ich einsetze in die Potenzreihe, bekomme ich eine unendlich-Reihe raus, deren Glieder von k=1 bis [mm] \infty [/mm] gehen.
Warum aber betrachte ich nur das Glied für k=1 wenn ich für z den Entwicklungspunkt einsetze?
Vielen Dank!!
Tobi
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> Hallo,
> ich stehe gerade vor einem kleinen Rätsel:
>
> Man nehme eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt...sagen
> wir [mm]z_o=\bruch{1}{2}.[/mm]
> Das heißt: für alle komplexen Zahlen innerhalb des offenen
> Konvergenzkreises um [mm]\bruch{1}{2},[/mm] die ich in meine
> Potenzreihe einsetze, bekomme ich eine unendliche Reihe
> (sagen wir vom k=1 bis [mm]\infty)[/mm] raus, die konvergiert, also
> einen Reihenwert besitzt, den ich ausrechnen kann.
> Wenn nun aber nach dem Reihenwert für [mm]z=\bruch{1}{2}[/mm]
> gefragt ist, und man [mm]\bruch{1}{2}[/mm] einsetzen würde in die
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_n (z-\bruch{1}{2}),[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") richtig wäre [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_n (z-\bruch{1}{2})^k[/mm]
> käme ja 0 raus.
Bei Deiner, falsch angesetzten Potenzreihe schon. Aber bei der oben vorgeschlagenen Korrektur eben nicht. Da erhältst Du, dass alle Reihenglieder 0 sind, ausser das erste. Und dies ist [mm] $a_0$, [/mm] denn [mm] $a_0(z-1/2)^0=a_0\cdot 1=a_0$.
[/mm]
> Ich habe in Lösungen gelesen, dass man für
> z=Entwicklungspunkt einfach das erste Reihenglied der Reihe
> als Reihenwert für dieses z nimmt.
Richtig. Aber das "erste" ist das Reihenglied zum Exponenten $k=0$ von [mm] $a_k(z-z_0)^k$. [/mm] Also das Reihenglied mit dem Wert [mm] $a_0$.
[/mm]
> Warum?
Siehe oben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mo 07.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Alles klar stimmt!
Habe hier nur ein Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1+e^k}{2^{k}+k^2}(z-i)^{k-1}
[/mm]
hier bleibt für z=i tatsächlich nur das erste Glied stehen mit k=1.
Frage:
In der Lösung steht aber, dass die Folge [mm] a_k [/mm] für k=0 übrig bleibt, also [mm] \bruch{1+e^0}{2^{0}+0^2}
[/mm]
Das muss doch ein Fehler in der Lösung sein!?
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> Alles klar stimmt!
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> Habe hier nur ein Beispiel:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1+e^k}{2^{k}+k^2}(z-i)^{k-1}[/mm]
Diese Reihe hat nicht die Form [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$. [/mm] Aber man kann sie auf diese Form bringen:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1+e^{k+1}}{2^{k+1}+(k+1)^2}(z-i)^{k}[/mm]
>
> hier bleibt für z=i tatsächlich nur das erste Glied stehen
> mit k=1.
> Frage:
> In der Lösung steht aber, dass die Folge [mm]a_k[/mm] für k=0 übrig
> bleibt, also [mm]\bruch{1+e^0}{2^{0}+0^2}[/mm]
Für $z=i$ bleibt zwar das Glied zu $k=0$ in der von mir oben korrigierten Indizierung der Potenzreihe stehen, dieses lautet aber
[mm]\bruch{1+e^{0+1}}{2^{0+1}+(0+1)^2}[/mm]
>
> Das muss doch ein Fehler in der Lösung sein!?
Die Frage ist (aus meiner Sicht), was nun genau in der Lösung steht, und was Du selbst dazugedichtet hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 07.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Genau so hab ichs mir auch überlegt. Kommt ja aufs selbe raus.
Ich habe nichts dazugedichtet...
In der Lösung steht "Der Wert der Reihe bei z=i ist der 0-te Koeffizient", also wie schon gesagt [mm] "\bruch{1+e^{0}}{2^{0}+(0)^2}"
[/mm]
Das steht in der Lösung.
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> Genau so hab ichs mir auch überlegt. Kommt ja aufs selbe
> raus.
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> Ich habe nichts dazugedichtet...
> In der Lösung steht "Der Wert der Reihe bei z=i ist der
> 0-te Koeffizient", also wie schon gesagt
> [mm]"\bruch{1+e^{0}}{2^{0}+(0)^2}"[/mm]
> Das steht in der Lösung.
In diesem Falle gibt es zwei Möglichkeiten: Erstens, die Lösung ist in der Tat Müll, oder, zweitens, in der Lösung steht (im Unterschied zu dem, was Du angegeben hast) die Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1+e^k}{2^{k}+k^2}(z-i)^{k} [/mm] $
Beachte: Hier ist der Exponent von $(z-i)$ gleich $k$ und nicht, wie von Dir angegeben, $k-1$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 07.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
sei e>0 und die Lösung Müll ;)
Nein die Reihe heißt exakt so wie ich sie angegeben habe. Danke für die Hilfe!!
Gruß,
Tobi
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