Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 27.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die gewöhnliche DGL y''-xy=0. Verwenden Sie den Potenzreihenansatz und ermitteln Sie von zwei linear unabhängigen Lösungen die Potenzreihenentwicklungen um die Stelle 0 bis zum vierten nicht-verschwindenden Glied. |
Hallo, ich wollt mal überprüfen, ob ichs bis jetzt richtig gemacht habe. Ich hab bis jetzt folgenden aufgeschrieben:
y''-xy=0
Mit Potenzreihenansatz:
Idee (Ansatz): Lösung hat die Form [mm] y(x)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k [/mm] mit [mm] a_{k} \in \IC
[/mm]
in DGL einsetzen und [mm] a_{k} [/mm] bestimmen:
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k)''-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \gdw (\summe_{k=0}^{\infty}k*a_{k}*x^{k-1})'-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}k(k-1)*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \gdw\summe_{k=0}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
Die Summe kann man auch bei 1 anfangen lassen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
Und wenn die Summe bei 2 anfängt:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}+a_{1}*x^{-1}-a_{1}*x^{-1}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
Indexverschiebung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)^2*a_{k+2}*x^{k}-(k+2)*a_{k+2}*x^{k}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}[(k+2)^2*a_{k+2}*x^k-(k+2)*a_{k+2}*x^k-x*a_{k}*x^k]=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k+2)^2*a_{k+2}-(k+2)*a_{k+2}-x*a_{k}]=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k+2)[(k+2)*a_{k+2}-a_{k+2}]-x*a_{k}]=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k+2)(k+1)*a_{k+2}-x*a_{k}]=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k^2+3k+2)*a_{k+2}-x*a_{k}]=0
[/mm]
Ist das bis jetzt richtig?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 27.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die gewöhnliche DGL y''-xy=0. Verwenden Sie
> den Potenzreihenansatz und ermitteln Sie von zwei linear
> unabhängigen Lösungen die Potenzreihenentwicklungen um
> die Stelle 0 bis zum vierten nicht-verschwindenden Glied.
> Hallo, ich wollt mal überprüfen, ob ichs bis jetzt
> richtig gemacht habe. Ich hab bis jetzt folgenden
> aufgeschrieben:
> y''-xy=0
> Mit Potenzreihenansatz:
> Idee (Ansatz): Lösung hat die Form
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k[/mm] mit [mm]a_{k} \in \IC[/mm]
> in
> DGL einsetzen und [mm]a_{k}[/mm] bestimmen:
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k)''-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
> [mm]\gdw (\summe_{k=0}^{\infty}k*a_{k}*x^{k-1})'-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \summe_{k=0}^{\infty}k(k-1)*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
>
> [mm]\gdw\summe_{k=0}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
> Die Summe kann man auch bei 1 anfangen lassen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
> Und wenn die Summe bei 2 anfängt:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}+a_{1}*x^{-1}-a_{1}*x^{-1}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x*\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0[/mm]
Soweit OK, aber du musst den Faktor x mitnehmen:
[mm]\summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k+1}=0[/mm]
> Indexverschiebung:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1) a_{k+2} x^k - \summe_{k=1}^{\infty}a_{k-1}*x^{k}=0[/mm],
oder
[mm] 2a_2 + \summe_{k=1}^{\infty}[(k+2)(k+1) a_{k+2} -a_{k-1} ]x^k =0[/mm]
woraus [mm] $a_2=0$ [/mm] folgt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 30.01.2012 | | Autor: | David90 |
ok dann mach ichs nochmal ab der folgenden Stelle:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-x\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^k=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=2}^{\infty}k^2*a_{k}*x^{k-2}-k*a_{k}*x^{k-2}-\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k+1}=0
[/mm]
Indexverschiebung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)^2*a_{k+2}*x^{k}-(k+2)*a_{k+2}*x^{k}-\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k+1}=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}[(k+2)^2*a_{k+2}*x^{k}-(k+2)*a_{k+2}*x^{k}-a_{k}*x^{k+1}]=0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k+2)^2*a_{k+2}-(k+2)*a_{k+2}-a_{k}*x]
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}x^k[(k^2+3k+2)*a_{k+2}-a_{k}*x]
[/mm]
Bis dahin richtig oder?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 31.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Nochmal: du fasst Terme mit unterschiedlichen Potenzen von x, nämlich [mm] $x^k$ [/mm] und [mm] $x^{k+1}$ [/mm] zusammen. Das ist falsch. Du musst die Indizes so verschieben, dass nur [mm] $x^k$ [/mm] stehenbleibt, so wie ich es dir vorgerechnet habe.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 31.01.2012 | | Autor: | David90 |
ok also dann ist also [mm] a_{2}=0...ich [/mm] hab noch die ersten vier Werte für k eingesetzt und dann Koeffizientenvergleich gemacht:
[mm] 2a_{2}=0 [/mm] also [mm] a_{2}=0
[/mm]
[mm] 6a_{3}-a_{0}=0
[/mm]
[mm] 12a_{4}-a_{1}=0
[/mm]
[mm] 20a_{5}-a_{2}=0
[/mm]
[mm] 30a_{6}-a_{3}=0
[/mm]
Also das gilt ja für die Reihe: [mm] (k^2+3k+2)*a_{k+2}-a_{k-1} [/mm]
[mm] \gdw a_{k+2}=\bruch{a_{k-1} }{k^2+3k+2} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1
Soweit richtig oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok also dann ist also [mm]a_{2}=0...ich[/mm] hab noch die ersten
> vier Werte für k eingesetzt und dann
> Koeffizientenvergleich gemacht:
> [mm]2a_{2}=0[/mm] also [mm]a_{2}=0[/mm]
> [mm]6a_{3}-a_{0}=0[/mm]
> [mm]12a_{4}-a_{1}=0[/mm]
> [mm]20a_{5}-a_{2}=0[/mm]
> [mm]30a_{6}-a_{3}=0[/mm]
>
> Also das gilt ja für die Reihe: [mm](k^2+3k+2)*a_{k+2}-a_{k-1}[/mm]
> [mm]\gdw a_{k+2}=\bruch{a_{k-1} }{k^2+3k+2}[/mm] für k [mm]\ge[/mm] 1
> Soweit richtig oder?
Soweit richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 31.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok und jetzt suchen wir ja nach einer expliziten Formel:
[mm] a_{3}=a_{0}/6
[/mm]
[mm] a_{4}=a_{1}/12
[/mm]
[mm] a_{5}=a_{2}/20
[/mm]
usw.
Kann man daraus eine allgemeine Formel für [mm] a_{k} [/mm] machen?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok und jetzt suchen wir ja nach einer expliziten Formel:
> [mm]a_{3}=a_{0}/6[/mm]
> [mm]a_{4}=a_{1}/12[/mm]
> [mm]a_{5}=a_{2}/20[/mm]
> usw.
>
> Kann man daraus eine allgemeine Formel für [mm]a_{k}[/mm] machen?
Versuche aus der Rekursionsformel
[mm]a_{k+2}=\bruch{a_{k-1}}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}[/mm]
eine explizite Formel der Bauart
[mm]a_{k}=\alpha_{k}*a_{0}+\beta_{k}*a_{1}[/mm]
zu gewinnen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Di 31.01.2012 | | Autor: | David90 |
mmhhh, das ist schwierig [mm] \alpha_{k} [/mm] und [mm] \beta_{k} [/mm] zu finden...also müssten ja Brüche sein...also bei k=3 würde ja [mm] \alpha_{k}=1/2k [/mm] passen aber das [mm] a_{0} [/mm] muss ja bei den nächsten k's schon wieder wegfallen...ich komm nicht drauf :/
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Hallo David90,
> mmhhh, das ist schwierig [mm]\alpha_{k}[/mm] und [mm]\beta_{k}[/mm] zu
> finden...also müssten ja Brüche sein...also bei k=3
> würde ja [mm]\alpha_{k}=1/2k[/mm] passen aber das [mm]a_{0}[/mm] muss ja bei
> den nächsten k's schon wieder wegfallen...ich komm nicht
> drauf :/
Es ist doch
[mm]a_{3}=\bruch{a_{0}}{3*2}[/mm]
[mm]a_{6}=\bruch{a_{3}}{6*5}= \bruch{1}{6*5}*\bruch{a_{0}}{3*2}=\bruch{1}{6*5}*\bruch{1}{3*2}a_{0}[/mm]
und
[mm]a_{4}=\bruch{a_{1}}{4*3}[/mm]
[mm]a_{7}=\bruch{a_{4}}{7*6}= \bruch{1}{7*6}*\bruch{a_{1}}{4*3}=\bruch{1}{7*6}*\bruch{1}{4*3}a_{1}[/mm]
usw.
[mm]a_{5}, \ a_{8}, \ ...[/mm] sind alle 0, da [mm]a_{2}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 09.02.2012 | | Autor: | kozlak |
> Es ist doch
>
> [mm]a_{3}=\bruch{a_{0}}{3*2}[/mm]
>
> [mm]a_{6}=\bruch{a_{3}}{6*5}= \bruch{1}{6*5}*\bruch{a_{0}}{3*2}=\bruch{1}{6*5}*\bruch{1}{3*2}a_{0}[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_{4}=\bruch{a_{1}}{4*3}[/mm]
>
> [mm]a_{7}=\bruch{a_{4}}{7*6}= \bruch{1}{7*6}*\bruch{a_{1}}{4*3}=\bruch{1}{7*6}*\bruch{1}{4*3}a_{1}[/mm]
>
> usw.
>
> [mm]a_{5}, \ a_{8}, \ ...[/mm] sind alle 0, da [mm]a_{2}=0[/mm]
Hallo,
ich hatte mit diesen Aufgaben leider schon immer Probleme. Meistens sehe ich zwar eine "Regelmäßigkeit", aber beim besten Willen komme ich auf kein Bildungsgesetz...Was auch hier wieder der Fall ist.
Habe bisher [mm] \bruch{1}{(k-1)k} [/mm] für den 1.Term im Nenner, ist aber im ganzen ja blödsinnig....Wie bekommt man denn den Wechsel von [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] hin?
Bin dem Wahnsinn nah und freue mich über jede Brotkrume ;)
mfg
kozlak
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Hallo kozlak,
> > Es ist doch
> >
> > [mm]a_{3}=\bruch{a_{0}}{3*2}[/mm]
> >
> > [mm]a_{6}=\bruch{a_{3}}{6*5}= \bruch{1}{6*5}*\bruch{a_{0}}{3*2}=\bruch{1}{6*5}*\bruch{1}{3*2}a_{0}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]a_{4}=\bruch{a_{1}}{4*3}[/mm]
> >
> > [mm]a_{7}=\bruch{a_{4}}{7*6}= \bruch{1}{7*6}*\bruch{a_{1}}{4*3}=\bruch{1}{7*6}*\bruch{1}{4*3}a_{1}[/mm]
>
> >
> > usw.
> >
> > [mm]a_{5}, \ a_{8}, \ ...[/mm] sind alle 0, da [mm]a_{2}=0[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich hatte mit diesen Aufgaben leider schon immer Probleme.
> Meistens sehe ich zwar eine "Regelmäßigkeit", aber beim
> besten Willen komme ich auf kein Bildungsgesetz...Was auch
> hier wieder der Fall ist.
>
> Habe bisher [mm]\bruch{1}{(k-1)k}[/mm] für den 1.Term im Nenner,
> ist aber im ganzen ja blödsinnig....Wie bekommt man denn
> den Wechsel von [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] hin?
>
Es gilt doch:
[mm]a_{3k}=\left(\produkt_{i=1}^{k}\bruch{1}{3*i*\left(3*i-1\right)}\right)*a_{0}[/mm]
[mm]a_{3k+1}=\left(\produkt_{i=1}^{k}\bruch{1}{3*i*\left(3*i+1\right)}\right)*a_{1}[/mm]
[mm]a_{3k+2}=0[/mm]
> Bin dem Wahnsinn nah und freue mich über jede Brotkrume
> ;)
>
> mfg
> kozlak
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 09.02.2012 | | Autor: | kozlak |
Danke für die Antwort, das .hat mir schon sehr geholfen.
Leider muss ich noch einmal nachfragen.
Ich verstehe einfach nicht, wie man jetzt diese Infomationen zu einem expliziten [mm] a_k [/mm] "zusammenpacken" kann?
mfg
kozlak
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Hallo kozlak,
>
> Danke für die Antwort, das .hat mir schon sehr geholfen.
>
>
> Leider muss ich noch einmal nachfragen.
> Ich verstehe einfach nicht, wie man jetzt diese
> Infomationen zu einem expliziten [mm]a_k[/mm] "zusammenpacken"
> kann?
>
Das sieht dann so aus:
[mm]a_{k}=\left\{ \begin{matrix} \left(\produkt_{i=1}^{k/3}\bruch{1}{3*i*\left(3*i-1\right)}\right)a_{0} & k \equiv 0 \ \left(3\right) \\ \left(\produkt_{i=1}^{\left(k-1\right)/3}\bruch{1}{3*i*\left(3*i+1\right)}\right)a_{1} & k \equiv 1 \ \left(3\right) \\ 0 & k \equiv 2 \ \left(3\right) \end{matrix}} \right[/mm]
>
> mfg
>
> kozlak
Gruss
MathePower
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