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Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Mo 30.01.2006
Autor: chrixx

Aufgabe
Vorgelegt ist die Funktion
f(x) = $ [mm] \bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}} [/mm] $ :

Stellen Sie f(x) in Form einer Potenzreihe dar. (Empfehlung: Substitution) es genügt die Angabe der ersten fünf Summanden.

Ich bin hier fast am Verzweifeln. Die Substitution $ [mm] u=x^{-2} [/mm] $
leuchtet ein. Die Reihe für $ [mm] e^{x} [/mm] $ ist mir auch bekannt.
Aber wie muss ich dann weiter verfahren?
Ich komme einfach nicht auf die Lösung:



Vielen Dank für die Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:45 Mo 30.01.2006
Autor: Yuma

Hallo Christian,

also eigentlich kannst du mit dem, was du hingeschrieben hast, die Aufgabe bereits lösen:

Substituiere doch zunächst mal [mm] $u(x)=x^{-2}$ [/mm] in dem Term [mm] $\bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}}$. [/mm]
Die Exponentialfunktion ersetzt du dann durch ihre Potenzreihe.
Den entstehenden Term brauchst du eigentlich nur ein bisschen umzuformen und am Schluss wieder $x$ für $u$ einzusetzen.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste so etwas wie
[mm] $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x^{2n}$ [/mm] herauskommen.

Schreib doch bitte mal genau, an welcher Stelle du stecken bleibst.
Ich bin sicher, dass ich (oder jemand anders) dir dann konkreter weiterhelfen können.

MFG,
Yuma

Bezug
        
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Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:04 Mo 30.01.2006
Autor: chrixx

Guten Morgen Yuma,

erst mal vielen Dank für die Antwort, und das mitten in der Nacht ;)!
Mein Problem ist genau der nächste Schritt nach dem Substituieren.
Die Potenzreihe für $ [mm] e^x [/mm] $ ist mir ja bekannt.
Aber wie verfahre ich dann weiter, wenn ich $ [mm] \bruch{{e^u}-1}{u}$ [/mm] habe?
Bzw. wie baue ich dann die Potenzreihe in die Gleichung ein?

Um es ganz klar auszudrücken: Wie gehts jetzt weiter?

$ [mm] f(x)=\bruch{ (\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n!}x^n)-1 }{u} [/mm] $

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Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:48 Mo 30.01.2006
Autor: Yuma

Hallo,

eine letzte Antwort für diese Nacht - dann geh ich ins Bett. ;-)

Deine Substitution stimmt nicht so ganz. Wenn [mm] $u=x^{-2}$ [/mm] sein soll, müsste der Term so aussehen:

[mm] $\bruch{\exp{\left(-x^{2}\right)-1}}{x^{2}}=u\left(\exp{\left(-\bruch{1}{u}\right)-1}\right)$. [/mm]

Anschließend setzt du einfach [mm] $\exp{\left(-\bruch{1}{u}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{\left(-\bruch{1}{u}\right)^{n}}{n!}$ [/mm] ein. Den entstehenden Term musst du dann solange umformen, bis wieder eine Potenzreihe herauskommt...

Ich schau morgen mal wieder vorbei, ok? Gute Nacht! ;-)

MFG,
Yuma

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Bezug
Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Mo 30.01.2006
Autor: chrixx

Nochmal zum mitdenken.

Am Anfang habe ich $ [mm] f(x)=\bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}} [/mm] $.

Dann substituiere ich mit $ [mm] u=-x^2$ [/mm]

Dann setze ich diese Substitution ein und erhalte: [mm] $f(u)=\bruch{{e^u}-1}{-u} [/mm] $.

Diese Substitution muss jetzt aber stimmen.

Jetzt setze ich die Potenzreihe der e-Funktion anstelle von [mm] $e^u$ [/mm] ein.

Muss ich im nächsten Schritt von jedem Glied der Summe die "1" abziehen
und durch "u" teilen?  Oder wie behandle ich die Summe?
Kann es sein, dass ich mich zu kompliziert ausdrücke :)?




Bezug
                                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 30.01.2006
Autor: Yuma

Hallo Christian,

> Nochmal zum mitdenken.
>  
> Am Anfang habe ich [mm]f(x)=\bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}} [/mm].
>  
> Dann substituiere ich mit [mm]u=-x^2[/mm]
>  
> Dann setze ich diese Substitution ein und erhalte:
> [mm]f(u)=\bruch{{e^u}-1}{-u} [/mm].

Da hast du völlig Recht, aber am Anfang wolltest du ja [mm] $u=x^{-2}=\bruch{1}{x^{2}}$ [/mm] substituieren. Das ganze funktioniert mit beiden Substitutionen, nur sieht die Darstellung jeweils etwas anders aus. Bleiben wir jetzt also bei der Darstellung [mm] $\bruch{{e^u}-1}{-u}$. [/mm]

> Jetzt setze ich die Potenzreihe der e-Funktion anstelle von
> [mm]e^u[/mm] ein.
> Muss ich im nächsten Schritt von jedem Glied der Summe die
> "1" abziehen

Nein, nicht von jedem Glied - du musst es einmal von der Summe abziehen. D.h. konkret:
[mm] $\left(\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{u^{n}}{n!}\right)-1=\sum_{n=1}^{\infty}\bruch{u^{n}}{n!}$. [/mm]

Danach kannst du einmal $u$ kürzen und musst dann noch eine Indexverschiebung durchführen. Abschließend wieder $u$ durch [mm] $-x^{2}$ [/mm] ersetzen, nochmal ein bisschen umformen und fertig. ;-)

> Kann es sein, dass ich mich zu kompliziert ausdrücke :)?

Nein, ich versteh dich schon! :-)

Versuch das doch mal und schreib uns dann, an welcher Stelle du nicht weiterkommst!

MFG,
Yuma

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Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Mo 30.01.2006
Autor: chrixx

Der Hammer, jetzt habe selbst ich es kapiert!
Vielen lieben Dank für Deine Bemühungen ;-)!

Jetzt habe ich nur noch eine kleine Frage zu
dem Thema, bzw. hoffe, dass sie klein ist.

Wie ist es jetzt wenn ich einen anderen Entwicklungspunkt
habe? Zum Beispiel $ [mm] x_{0} [/mm] = 1$?

Dann kann ich das Thema abhaken...

Bezug
                                                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Mo 30.01.2006
Autor: Yuma


> Der Hammer, jetzt habe selbst ich es kapiert!
>  Vielen lieben Dank für Deine Bemühungen ;-)!

Gern geschehen! :-)
  

> Jetzt habe ich nur noch eine kleine Frage zu
> dem Thema, bzw. hoffe, dass sie klein ist.
>  
> Wie ist es jetzt wenn ich einen anderen Entwicklungspunkt
>  habe? Zum Beispiel [mm]x_{0} = 1[/mm]?

Das geht natürlich auch, allerdings fällt mir hier kein Trick ein, mit dem das genauso schnell geht, wie bei [mm] $x_{0}=0$. [/mm]
Was auf jeden Fall immer gehen sollte, ist eine Taylorentwicklung um den Punkt [mm] $x_{0}=1$, [/mm] aber das ist natürlich sehr mühsam.

MFG,
Yuma

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