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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 06.06.2009 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Geben sie für die folgenden Funktionen [mm]f_k[/mm] eine Potenzreihenentwicklung um den Entwicklungspunkt [mm]z_k[/mm] an und bestimmen sie den Konvergenzradius.
a) [mm] f_1(z) = \bruch{1}{z-a}, z_1\not= a[/mm]
b) [mm] f_2(z) = \bruch{1}{(z-a)^n}, z_2\not= a[/mm] für alle [mm] n\in\IN[/mm]
... |
Hi
Bei der a habe ich schon eine Lösung raus [mm] f(z) = \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}}[/mm]. Stimmt das?
Mein Hauptfrage ist aber bei der b). Dort gibt es den Hinweis "Partialbruchzerlegung". Wenn ich die Funktion jetzt zerlege kommt ja
[mm] f_2(z) = \underbrace{\bruch{1}{z-a}*\bruch{1}{z-a}*...}_{n \mbox{-mal}}[/mm]
raus. Ich weiß ja dass ich [mm] f_1(z) = \bruch{1}{z-a}[/mm] als [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}}[/mm] schreiben kann (Aufgabenteil a). Also komme ich zu der Formel:
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}})^n[/mm]
Wie komme ich jetzt da weiter, wie kann ich daraus eine Funktion der Form [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k*(z-z_0)[/mm] machen?
Vielen Dank schon mal im Voraus
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Hallo algieba,
> Geben sie für die folgenden Funktionen [mm]f_k[/mm] eine
> Potenzreihenentwicklung um den Entwicklungspunkt [mm]z_k[/mm] an und
> bestimmen sie den Konvergenzradius.
>
> a) [mm]f_1(z) = \bruch{1}{z-a}, z_1\not= a[/mm]
>
> b) [mm]f_2(z) = \bruch{1}{(z-a)^n}, z_2\not= a[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> ...
> Hi
>
> Bei der a habe ich schon eine Lösung raus [mm]f(z) = \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}}[/mm].
> Stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mein Hauptfrage ist aber bei der b). Dort gibt es den
> Hinweis "Partialbruchzerlegung". Wenn ich die Funktion
> jetzt zerlege kommt ja
> [mm]f_2(z) = \underbrace{\bruch{1}{z-a}*\bruch{1}{z-a}*...}_{n \mbox{-mal}}[/mm]
>
> raus. Ich weiß ja dass ich [mm]f_1(z) = \bruch{1}{z-a}[/mm] als
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}}[/mm]
> schreiben kann (Aufgabenteil a). Also komme ich zu der
> Formel:
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{(z-z_1)^k}{(z_1-a)^{k+1}})^n[/mm]
>
> Wie komme ich jetzt da weiter, wie kann ich daraus eine
> Funktion der Form [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k*(z-z_0)[/mm]
> machen?
Entweder Du multiplizierst die Potenzreihen solange miteinander,
bist Du eine Vermutung hast, wie die Potenzreihenentwicklung
von [mm]\bruch{1}{\left(z-a\right)^{n}}[/mm] wahrscheinlich aussieht.
Dies solltest Du dann aber mit vollständiger Induktion beweisen.
Oder Du differenzierst die in a) erhaltene Potenzreihenentwicklung
solange, bist Du einen Ausdruck der Form [mm]\bruch{1}{\left(z-a\right)^{n}}[/mm] da stehen hast.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 06.06.2009 | | Autor: | algieba |
Hi MathePower
Danke für deine Antwort. Ich verstehe leider die Lösungswege nicht wirklich. Warum soll ich die Potenzreihentwicklung differenzieren , und wie soll da ein Ausdruck der Form [mm]\bruch{1}{\left(z-a\right)^{n}}[/mm] rauskommen. Die Potenzreihe bleibt doch eine Potenzreihe, auch wenn ich sie ableite.
Könntest du da vielleicht mal ein Beispiel geben, wie du das meinst?
Viele Grüße
algieba
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Hallo algieba,
> Hi MathePower
>
> Danke für deine Antwort. Ich verstehe leider die
> Lösungswege nicht wirklich. Warum soll ich die
> Potenzreihentwicklung differenzieren , und wie soll da ein
> Ausdruck der Form [mm]\bruch{1}{\left(z-a\right)^{n}}[/mm]
> rauskommen. Die Potenzreihe bleibt doch eine Potenzreihe,
> auch wenn ich sie ableite.
> Könntest du da vielleicht mal ein Beispiel geben, wie du
> das meinst?
>
Wie gewünscht hier ein Beispiel:
[mm]\bruch{1}{z-a}=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(z-z_{0}\right)^{k}[/mm]
Nun wird auf beiden Seiten differenziert:
[mm]\bruch{d}{dz}\left( \ \bruch{1}{z-a} \ \right)=\bruch{d}{dz}\left( \ \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(z-z_{0}\right)^{k} \ \right)[/mm]
[mm]\gdw \bruch{-1}{\left(z-a\right)^{2}}=\bruch{d}{dz}\left( \ \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(z-z_{0}\right)^{k} \ \right)[/mm]
Desweitern darf man Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzintervalles gliedweise differenzieren, d.h.
[mm]\gdw \bruch{-1}{\left(z-a\right)^{2}}= \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\bruch{d}{dz}\left( \ \left(z-z_{0}\right)^{k} \ \right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]\gdw \bruch{-1}{\left(z-a\right)^{2}}= \summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}* \left(z-z_{0}\right)^{k-1} [/mm]
>
> Viele Grüße
> algieba
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 06.06.2009 | | Autor: | algieba |
Vielen Dank, ich glaube ich habs jetzt verstanden. Mein Ergebnis ist:
[mm]\bruch{1}{(z-a)^n} = \bruch{1}{(-1)^{n-1}(n-1)!} \summe_{k=0}^{\infty} a_k \bruch{k!}{(k-(n-1))!}(z-z_1)^{k-(n-1)}[/mm]
mit [mm] a_k = (-1)^k \bruch{1}{(z_1-a)^{k+1}[/mm]
Stimmt das?
Viele Grüße
algieba
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Hallo algieba,
> Vielen Dank, ich glaube ich habs jetzt verstanden. Mein
> Ergebnis ist:
>
> [mm]\bruch{1}{(z-a)^n} = \bruch{1}{(-1)^{n-1}(n-1)!} \summe_{k=0}^{\infty} a_k \bruch{k!}{(k-(n-1))!}(z-z_1)^{k-(n-1)}[/mm]
>
> mit [mm]a_k = (-1)^k \bruch{1}{(z_1-a)^{k+1}[/mm]
>
> Stimmt das?
Bis auf eine Kleinigkeit stimmt das.
[mm]\bruch{1}{(z-a)^n} = \bruch{1}{(-1)^{n-1}(n-1)!} \summe_{k={\red{n-1}}}^{\infty} a_k \bruch{k!}{(k-(n-1))!}(z-z_1)^{k-(n-1)}[/mm]
Das kann man noch etwas zusammenfassen:
[mm]\bruch{1}{(z-a)^n} = \bruch{1}{(-1)^{n-1}!} \summe_{k=n-1}^{\infty} a_k \bruch{k!}{\left(n-1\right)!(k-(n-1))!}(z-z_1)^{k-(n-1)}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{(-1)^{n-1}} \summe_{k=n-1}^{\infty} a_k \pmat{k \\ n-1}(z-z_1)^{k-(n-1)}[/mm]
Jetzt kannst Du das [mm]a_{k}[/mm] noch explizit in diese Summe schreiben.
>
> Viele Grüße
> algieba
>
Gruß
MathePower
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