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Hallo,
ich hab ne Frage zur Potenzreihenentwicklung, bzw, kann einen Schritt nicht nachvollziehen.
Es Geht um das Gravitationsfeld eines beliebig geformten Körpers, aber ich glaube das ist gar nicht so wichtig.
Gegeben ist das Integral: [mm] V=-G/r\integral_{M}^{}{\bruch{1}{(1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)} dM}
[/mm]
mit r>a und [mm] \varepsilon<1 [/mm] (a=Distanz zw. Ursprung und dM)
Jetzt soll der Integrand in einer Potenzreihe entwickelt werden.
[mm] (1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)=P_{0(q)}+P_{1(q)}\varepsilon+P_{2(q)}\varepsilon^{2}+...
[/mm]
Wie kommt man darauf???
[mm] P_{0}=1, P_{1}=q, P_{2}=1/2(3q^{2}), P_{3}=1/2(5q^{3}-3q)
[/mm]
Wie man darauf kommt, versteh ich auch nicht? :(
Hoffe mir kann jemand Helfen...
Gruß
bernd
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> Hallo,
> ich hab ne Frage zur Potenzreihenentwicklung, bzw, kann
> einen Schritt nicht nachvollziehen.
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> Es Geht um das Gravitationsfeld eines beliebig geformten
> Körpers, aber ich glaube das ist gar nicht so wichtig.
>
> Gegeben ist das Integral:
> [mm]V=-G/r\integral_{M}^{}{\bruch{1}{(1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)} dM}[/mm]
>
> mit r>a und [mm]\varepsilon<1[/mm] (a=Distanz zw. Ursprung und dM)
> Jetzt soll der Integrand in einer Potenzreihe entwickelt
> werden.
>
> [mm](1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)=P_{0(q)}+P_{1(q)}\varepsilon+P_{2(q)}\varepsilon^{2}+...[/mm]
> Wie kommt man darauf???
>
> [mm]P_{0}=1, P_{1}=q, P_{2}=1/2(3q^{2}), P_{3}=1/2(5q^{3}-3q)[/mm]
>
> Wie man darauf kommt, versteh ich auch nicht? :(
>
> Hoffe mir kann jemand Helfen...
>
> Gruß
> bernd
Hallo bernd,
ich vermute, dass da nicht bloß stand [mm] "\varepsilon<1" [/mm] ,
sondern sogar [mm] "\varepsilon<<1", [/mm] was bedeuten würde, dass [mm] \varepsilon
[/mm]
wesentlich kleiner als 1 sein soll. Eigentlich
sollte man fordern, dass [mm] |2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2|<<1, [/mm] um eine
gute Approximation durch eine Potenzreihe zu
erhalten, die man nach wenigen Gliedern abbre-
chen darf. Der Schlüssel liegt in der Entwicklung
[mm] $\frac{1}{1-x}\ [/mm] =\ [mm] 1+x+x^2+x^3+\,........$ [/mm] (|x|<1)
welche auf der Summenformel für die geometrische
Reihe beruht. Setze also [mm] x:=2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2 [/mm] . Dann ist
[mm] $\frac{1}{1-(2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2)}\ [/mm] =\ [mm] 1+x+x^2+x^3+\,........$
[/mm]
$\ =\ [mm] 1+(2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2)+(2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2)^2+(2\,q\,\varepsilon-\varepsilon^2)^3+\,........$
[/mm]
Wenn du dies ausmultiplizierst und nach Potenzen
von [mm] \varepsilon [/mm] ordnest, hast du dein Polynom in [mm] \varepsilon [/mm] .
LG Al-Chw.
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wow, danke für die gute Antwort. Ich hab allerdings gerade gemerkt, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Das Integral lautet wie folgt:
[mm] V=-G/r\integral_{M}^{}{\bruch{1}{(1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)^{0,5}} dM}
[/mm]
Hab das 1/2 unterm Bruchstrich vergessen... sorry
Funktioniert das dann genauso? Oder ist das eine andere Reihe?
Vielen Dank nochmal für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Di 01.12.2009 | | Autor: | berndbrot |
ok, glaub ich habs raus. Hab die Näherung für [mm] (1\pmx)^n [/mm] aus dem Papula genommen...
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> wow, danke für die gute Antwort. Ich hab allerdings gerade
> gemerkt, dass ich einen Fehler gemacht habe.
>
> Das Integral lautet wie folgt:
>
> [mm]V=-G/r\integral_{M}^{}{\bruch{1}{(1+\varepsilon^{2}-2q\varepsilon)^{0,5}} dM}[/mm]
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> Hab das 1/2 unterm Bruchstrich vergessen... sorry
>
> Funktioniert das dann genauso? Oder ist das eine andere
> Reihe?
Natürlich ist das dann eine andere Reihe. Mit dem
x von vorher:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\ [/mm] =\ 1+x/2+(3 [mm] x^2)/8+(5 x^3)/16+.....$
[/mm]
LG Al-Chw.
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