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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 21.01.2010 | | Autor: | CC2 |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktionen f, g und h in eine komplexe Potenzreihe um z = 0
und bestimmen Sie jeweils den maximalen Gültigkeitsbereich G ⊂ |C der Entwicklung.
a) $f(z) = [mm] \bruch{1}{2z+5}$, [/mm] b) $g(z) = [mm] \bruch{1}{(z+1)(z+2)}$, [/mm] c) $h(z) = [mm] \bruch{1}{1-z+z^{2}}$ [/mm] |
Hallo,
die ersten beiden Teile hab ich jeweils mit geometrischer Reihe gemacht (bei b) davor Partialbruchzerlegung). Aber bei der dritten hab ich keine Ahnung, wie das gehen soll. Habe zwar erfahren, dass das
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2} U_{k} z^{k}$ [/mm] ist, (mit U...Chebychev - Polynom allerdings weiß ich nicht wie ich da drauf komme, glaube auch nicht, dass wir das Chebychev-Polynom jemals besprochen haben.
Muss ich da die Nullstellen finden? Wenn ja, wie? Hab das nämlich nicht geschafft.
Oder gibt es einen anderen Trick?
Danke schonmal,
Gruß CC2
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo CC2,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entwickeln Sie die Funktionen f, g und h in eine komplexe
> Potenzreihe um z = 0
> und bestimmen Sie jeweils den maximalen
> Gültigkeitsbereich G ⊂ |C der Entwicklung.
>
> a) [mm]f(z) = \bruch{1}{2z+5}[/mm], b) [mm]g(z) = \bruch{1}{(z+1)(z+2)}[/mm],
> c) [mm]h(z) = \bruch{1}{1-z+z^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> die ersten beiden Teile hab ich jeweils mit geometrischer
> Reihe gemacht (bei b) davor Partialbruchzerlegung). Aber
> bei der dritten hab ich keine Ahnung, wie das gehen soll.
> Habe zwar erfahren, dass das
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2} U_{k} z^{k}[/mm] ist, (mit
> U...Chebychev - Polynom allerdings weiß ich nicht wie ich
> da drauf komme, glaube auch nicht, dass wir das
> Chebychev-Polynom jemals besprochen haben.
>
> Muss ich da die Nullstellen finden? Wenn ja, wie? Hab das
> nämlich nicht geschafft.
Die Nullstellen von
[mm]1-z+z^{2}[/mm]
kannnst Du z.B. mit Hilfe der quadratischen Ergänzung finden.
Sind [mm]z_{1}, \ z_{2}, \ z_{1} \not= z_{2}[/mm] die Nullstellen des Polynoms.
Dann schreibt sich der [mm]h\left(z\right)[/mm] so:
[mm]\bruch{1}{1-z+z^{2}}=\bruch{A}{z-z_{1}}+\bruch{B}{z-z_{2}}[/mm]
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A, B.
> Oder gibt es einen anderen Trick?
>
> Danke schonmal,
> Gruß CC2
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Erweitere bei c) den Bruch mit [mm]1+z[/mm] und multipliziere im Nenner aus. Dann bist du fast fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 21.01.2010 | | Autor: | CC2 |
Hallo, danke für die schnellen Antworten.
Ich habe jetzt mal die PBZ gemacht und das umgeformt. Kann dann aber keine geometrische Reihe um 0 anwenden (weiß zumindest nicht wie), da ich einen imaginären Teil mit drin hab:
$ [mm] i\bruch{4}{\wurzel{3}i}*\bruch{1}{1-(2z-i\wurzel{3})} [/mm] - [mm] i\bruch{4}{\wurzel{3}i}*\bruch{1}{1-(2z+i\wurzel{3})} [/mm] $
Hätte da ja einen falschen Entwicklungspunkt, wenn ich das jetzt direkt anwende. Wie kann ich das um 0 entwickeln?
Und zum anderen Tipp: Habe das gemacht und $ [mm] \bruch{1+z}{1+z^{3}} [/mm] $ erhalten, aber mir fällt nicht ein, wie ich da 'ne Reihe entwickeln kann...
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[mm]\frac{1 + z}{1 + z^3} = \left( 1 + z \right) \cdot \frac{1}{1 - t} \ \ \text{mit} \ \ t = -z^3[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 23.01.2010 | | Autor: | CC2 |
Hmm, danke für den Tipp.
Habe jetzt aber das Problem, dass ich das nicht in eine einzige Potenzreihe umformen kann.
Habe folgende Formel, aber ist ja leider noch nicht in Potenzreihenform:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(1+z)*z^{n} [/mm] $ , mit $ n=3k , k [mm] \in \IN^{0} [/mm] $
Gibt es da eine Möglichkeit das in eine Potenzreihe zu schreiben?
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zum Beispiel so:
[mm]1 + z - z^3 - z^4 + z^6 + z^7 - z^9 - z^{10} ++-- \ldots[/mm]
oder so:
[mm]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( z^{3n} + z^{3n+1} \right)[/mm]
EDIT
Fehler im Exponenten korrigiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 23.01.2010 | | Autor: | CC2 |
Ok, danke.
Muss das bei Potenzreihen nicht in der Form $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k} [/mm] $ vorliegen?
Also, ohne Summe innerhalb der Reihe?
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Hallo CC2,
> Ok, danke.
>
> Muss das bei Potenzreihen nicht in der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] vorliegen?
Natürlich muß das so sein.
>
> Also, ohne Summe innerhalb der Reihe?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 23.01.2010 | | Autor: | CC2 |
Und wie erreiche ich so eine Form?
Ich habe da jetzt ja nur die Form $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} [/mm] * [mm] (z^{k}+z^{k+1}) [/mm] $.
Wie kann ich das jetzt alles auf eine Potenz bringen?
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Hallo CC2,
> Und wie erreiche ich so eine Form?
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> Ich habe da jetzt ja nur die Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k} * (z^{k}+z^{k+1}) [/mm].
>
> Wie kann ich das jetzt alles auf eine Potenz bringen?
Schreibe diese Reihe einmal aus:
[mm]a_{0}*\left(z^{0}+z^{1}\right)+a_{1}*\left(z^{1}+z^{2}\right)+a_{2}*\left(z^{2}+z^{3}\right)+ \ ...[/mm]
[mm]\gdw a_{0}*z^{0}+\left(a_{0}+a_{1}\right)*z^{1}+\left(a_{1}+a_{2}\right)*z^{2}+ \ ...[/mm]
Dann kannst Du Dir eine neue Reihe [mm]\summe_{l=0}^{\infty}b_{l} * z^{l} [/mm] mit
[mm]b_{0}:=a_{0}[/mm]
[mm]b_{l}:=a_{l-1}+a_{l}, \ l \ge 1[/mm]
definieren.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mo 25.01.2010 | | Autor: | CC2 |
Ok, danke schön für die Tipps.
Ich hatte dann nur noch das Problem, dass nur $ [mm] z^{0}, z^{1}, z^{3}, z^{4}, z^{6}, z^{7}, [/mm] ... $ vorhanden waren. Hatte da keine einfache Lösung gefunden, aber über den anderen vorgeschlagenen Weg ging's das in der Standard-Form zu schreiben (nur halt umständlich)...
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