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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Sa 25.09.2010 | | Autor: | LadyA |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie [mm] 1/z^2 [/mm] in z=1 in eine Potenzreihe. |
Hallo Leute,
ich habe irgendwie eine ganz dumme Frage, aber komme einfach nicht weiter, würde mich freuen wenn mir jemand mal auf die sprünge helfen könnte.
Also um den Koeffizienten der Potenzreihe auszurechen benutze ich diese Formel [mm] a_{v}= [/mm] (1/v!) [mm] (1/z^2)^v. [/mm] Nun muss ich die v-te Ableitung von [mm] (1/z^2)^v [/mm] berechnen.
Ich habe auch schon die Lösung, die da lautet
[mm] (1/z^2)^v= ((-1)^v) [/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
Ich komme durch meine Rechnungen: 1.Ableitung : [mm] -2/z^3
[/mm]
2.Ableitung : [mm] 6/z^4
[/mm]
3.Ableitung : [mm] -24/z^5
[/mm]
mehr hab ich nicht gemacht, diese deuten ja auf das (1/z^(v+2)) in der Ableutung.
Aber wie kommt man auf den ersten Teil der Ableitung also:
[mm] ((-1)^v) [/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
obwohl das mit der [mm] (-1)^v [/mm] kann ich mir ja schon denken, weil wie es aussieht gibt es bei jeder Ableitung einen Vorzeichenwechsel....
Aber wieso die (v+1)! ??????????
Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Entwickeln Sie [mm]1/z^2[/mm] in z=1 in eine Potenzreihe.
> Hallo Leute,
>
> ich habe irgendwie eine ganz dumme Frage, aber komme
> einfach nicht weiter, würde mich freuen wenn mir jemand
> mal auf die sprünge helfen könnte.
>
> Also um den Koeffizienten der Potenzreihe auszurechen
> benutze ich diese Formel [mm]a_{v}=[/mm] (1/v!) [mm](1/z^2)^v.[/mm] Nun muss
> ich die v-te Ableitung von [mm](1/z^2)^v[/mm] berechnen.
>
> Ich habe auch schon die Lösung, die da lautet
> [mm](1/z^2)^v= ((-1)^v)[/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
>
> Ich komme durch meine Rechnungen: 1.Ableitung : [mm]-2/z^3[/mm]
> 2.Ableitung : [mm]6/z^4[/mm]
> 3.Ableitung : [mm]-24/z^5[/mm]
>
> mehr hab ich nicht gemacht, diese deuten ja auf das
> (1/z^(v+2)) in der Ableutung.
>
> Aber wie kommt man auf den ersten Teil der Ableitung also:
>
> [mm]((-1)^v)[/mm] (v+1)! (1/z^(v+2))
>
> obwohl das mit der [mm](-1)^v[/mm] kann ich mir ja schon denken,
> weil wie es aussieht gibt es bei jeder Ableitung einen
> Vorzeichenwechsel....
> Aber wieso die (v+1)! ??????????
Hallo,
dann schau dir mal genau die Faktoren
2=2*1
6=3*2*1
24=4*3*2*1
...
an.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 25.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] \bruch{1}{z}= \bruch{1}{1-(1-z)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-1)^n
[/mm]
Für [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] berechne das Cauchyprodukt der obigen rechten Reihe mit sich selbst
FRED
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