Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Unter verwendung der Formel [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} [/mm] = [mm] z^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-z}$ [/mm] für $| z | < 1$ (Summenformel der geometrischen Reihe entwickle man die folende Funktion in eine Potenzreihe mit dr Entwicklungsstelle [mm] $z_{0}$ [/mm] und vestimme den zugehörigen Konvergenzradius.
(a) [mm] $\frac{1}{1-2z}$ [/mm] mit [mm] $z_{0} [/mm] = 0$
(b) $f(z) = [mm] \frac{2}{3-z}$ [/mm] mit [mm] $z_{0} [/mm] = 2$ |
Ich kann die vorgegebene Lösung der Teilaufgabe (b)
Aufgabe nicht nachvollziehen. Mit dem Ansatz [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (z-z_{0})^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-(z-z_{0})}$ [/mm] kommen wir bei (a) auf [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} \cdot z^{n}$. [/mm] Das kann ich nachvollziehen. Bei (b) kenne ich die Lösung $f(z) = [mm] \frac{2}{3-z} [/mm] = [mm] \frac{2}{3-(z-z_{0}+z_{0})} =\frac{2}{3-(z-2)-2} [/mm] = [mm] \frac{2}{1-(z-2)} [/mm] = 2 [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} (z-2)^{n}$ [/mm] Dass der Konvergenzradius dann hier nach Cauchy-Hamard 1 ist, ist klar. ABER wo kommt bitte auf einmal das [mm] $z-z_{0}+z_{0}$ [/mm] im Nenner her? dieses [mm] $+z_{0}$ [/mm] kommt für mich noch aus dem nichts. Kann mir da einer helfen?
Liebe Grüße,
Cafearabica
Ich habe diese Frage auf in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 23.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Unter verwendung der Formel [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} = z^{n} = \frac{1}{1-z}[/mm]
> für [mm]| z | < 1[/mm] (Summenformel der geometrischen Reihe
> entwickle man die folende Funktion in eine Potenzreihe mit
> dr Entwicklungsstelle [mm]z_{0}[/mm] und vestimme den zugehörigen
> Konvergenzradius.
> (a) [mm]\frac{1}{1-2z}[/mm] mit [mm]z_{0} = 0[/mm]
> (b) [mm]f(z) = \frac{2}{3-z}[/mm]
> mit [mm]z_{0} = 2[/mm]
> Ich kann die vorgegebene Lösung der
> Teilaufgabe (b)
> Aufgabe nicht nachvollziehen. Mit dem Ansatz
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} (z-z_{0})^{n} = \frac{1}{1-(z-z_{0})}[/mm]
hier müsste man wenn [mm] z_0 \neq [/mm] 0 wäre auch [mm] -z_0 [/mm] + [mm] z_0 [/mm] schreiben!
> kommen wir bei (a) auf [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} \cdot z^{n}[/mm].
> Das kann ich nachvollziehen. Bei (b) kenne ich die Lösung
> [mm]f(z) = \frac{2}{3-z} = \frac{2}{3-(z-z_{0}+z_{0})} =\frac{2}{3-(z-2)-2} = \frac{2}{1-(z-2)} = 2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} (z-2)^{n}[/mm]
> Dass der Konvergenzradius dann hier nach Cauchy-Hamard 1
> ist, ist klar. ABER wo kommt bitte auf einmal das
> [mm]z-z_{0}+z_{0}[/mm] im Nenner her? dieses [mm]+z_{0}[/mm] kommt für mich
> noch aus dem nichts. Kann mir da einer helfen?
Naja du darfst ja am Nenner nichts verändern also musst du wenn du ein [mm] z_0 [/mm] abziehst gleichzeitig wieder ein [mm] z_0 [/mm] hinzufügen. Das müsste man bei a) eigentlich auch machen, kann es aber lassen, da [mm] z_0 [/mm] = 0 ist. Bei b) ist [mm] z_0 [/mm] = 2. Also musst du [mm] -z_0 [/mm] + [mm] z_0 [/mm] "hinzufügen"
Hoffe das hilft.
> Liebe Grüße,
>
> Cafearabica
>
>
>
Grüße
|
|
|
|
