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| Aufgabe | Finden Sie mit geschickten algebraischen Umformungen und dem Ergebnis der Tutoriumsaufgabe 3 eine Potenzreihenentwicklung von (1/(1-z)) in Potenzen von 1/z, d.h. suchen Sie Koeffizienten [mm] a_n [/mm] auf, so dass
[mm] \left( \bruch{1}{1-z} \right) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n \left( \bruch{1}{z} \right)^n [/mm] |
Hallo,
ich weiß:
[mm] \left( \bruch{1}{1-z} \right) =\left( \bruch{1}{z((1/z)-1} \right)
[/mm]
=1/z [mm] \left( \bruch{1}{(1/z)-1} \right)
[/mm]
das muss ich in die folgende geometrische Reihe schreiben:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} z^k =\left( \bruch{1}{1-z} \right)
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} z^k [/mm] =1/z [mm] \left( \bruch{1}{(1/z)-1} \right)
[/mm]
und dann soll ich Index verschieben aber wie???
Ich bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Finden Sie mit geschickten algebraischen Umformungen und
> dem Ergebnis der Tutoriumsaufgabe 3 eine
> Potenzreihenentwicklung von (1/(1-z)) in Potenzen von 1/z,
> d.h. suchen Sie Koeffizienten [mm]a_n[/mm] auf, so dass
>
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> [mm]\left( \bruch{1}{1-z} \right) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n \left( \bruch{1}{z} \right)^n[/mm]
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> Hallo,
>
> ich weiß:
>
> [mm]\left( \bruch{1}{1-z} \right) =\left( \bruch{1}{z((1/z)-1} \right)[/mm]
>
> =1/z [mm]\left( \bruch{1}{(1/z)-1} \right)[/mm]
ist doch (fast) wunderbar, für $z [mm] \not=0$ [/mm] und $z [mm] \not=1$ [/mm] gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\frac{1}{1-z}=\frac{1}{z}*\frac{1}{\frac{1}{z}-1}=\;\red{\text{--}}\;\frac{1}{z}*\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}}\,.$$
[/mm]
Benutze nun [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q| < 1$ in [mm] $(\*)$, [/mm] indem Du
[mm] $q:=1/z\,$ [/mm] definierst (beachte auch $|q| < 1 [mm] \iff [/mm] |1/z| < 1 [mm] \iff...$). [/mm]
Und natürlich kannst Du danach noch sowas wie [mm] $r*\sum_{k=0}^\infty b_k r^k=\sum_{k=0}^\infty b_k r^{k+1}=\sum_{k=1}^\infty b_{k-1}r^k$
[/mm]
dann noch verwenden...
Gruß,
Marcel
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