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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 So 28.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
zwei Zahlen sollen zur gleichen Potenz(größer 2) gehoben werden. Die Summe soll eine Primzahl sein. Beispiel: [mm] 15^8+17^8=953...leider [/mm] keine Primzahl. auch 8^15+17^15 gibt keine Primzahl. Ebenso 8^17+15^17.
Wie findet man diese Zahlen? Weil die Potenzierung schnell zu großen Zahlen führt, ist man mit Programmieren(VBA Excel) bald an der Grenze. Kann jemand helfen?
Gruß Ferma
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Hallo Ferma,
das ist keine Übungsaufgabe.
> zwei Zahlen sollen zur gleichen Potenz(größer 2) gehoben
> werden. Die Summe soll eine Primzahl sein.
Also sowas wie [mm] 2^4+3^4=97.
[/mm]
> Beispiel:
> [mm]15^8+17^8=953...leider[/mm] keine Primzahl.
$9.538.648.066=2*97*4001*12.289$
> auch 8^15+17^15 gibt
> keine Primzahl. Ebenso 8^17+15^17.
Na, das ist klar. [mm] a^{2n-1}+b^{2n-1} [/mm] ist doch immer durch $a+b$ teilbar. Dein Exponent muss gerade sein und $a+b$ ungerade.
> Wie findet man diese Zahlen? Weil die Potenzierung schnell
> zu großen Zahlen führt, ist man mit Programmieren(VBA
> Excel) bald an der Grenze. Kann jemand helfen?
So einfach ist das nicht. Wozu brauchst Du das?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
Du wirst sicher bemerkt haben, dass die 3 Zahlen ein Elementares Pythagoreisches Tripel sind. Dann scheint das Problem unlösbar zu sein. Ich habe die Aufgabe irgendwo im Netz gefunden und sie lässt mich nicht mehr los. Habe etwa 100 solcher Tripel berechnet. Alle scheinen dieses Muster zu haben:Ungerade,Gerade,Ungerade. Das bedeutet, es ist nicht möglich, dass a+b ungerade und der Exponent gerade ist. Laut Aufgabe, sollen sich die drei Zahlen auf die 3 möglichen Summen beziehen.
[mm] a^b+c^b; b^a+c^a [/mm] und [mm] a^c+b^c. [/mm] Oder sehe ich etwa falsch?
Gruß, Ferma
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Hall Ferma,
ich verstehe nur Bahnhof.
> Du wirst sicher bemerkt haben, dass die 3 Zahlen ein
> Elementares Pythagoreisches Tripel sind.
Ganz bestimmt nicht. Du willst doch aus der Summe zweier Potenzen eine Primzahl erzeugen. Die kann doch nicht zugleich eine Quadratzahl sein.
> Dann scheint das
> Problem unlösbar zu sein.
Wieso, stimmt irgendetwas an der Lösung [mm] 2^4+3^4=97 [/mm] nicht?
Ansonsten:
[mm] 1^4+2^4=17
[/mm]
[mm] 1^4+4^4=257
[/mm]
[mm] 2^4+5^4=641
[/mm]
[mm] 4^4+5^4=881
[/mm]
[mm] 1^4+6^4=1297
[/mm]
[mm] 4^4+7^4=2657
[/mm]
[mm] 6^4+7^4=3697
[/mm]
[mm] 4^8+1^8=65537
[/mm]
...um mal ein paar kleinere Lösungen zu nennen.
> Ich habe die Aufgabe irgendwo im
> Netz gefunden und sie lässt mich nicht mehr los. Habe etwa
> 100 solcher Tripel berechnet.
Was für welche, pythagoräische? Die sind hier ja sichere Nicht-Lösungen.
> Alle scheinen dieses Muster
> zu haben:Ungerade,Gerade,Ungerade. Das bedeutet, es ist
> nicht möglich, dass a+b ungerade und der Exponent gerade
> ist.
In den oben gelisteten Lösungen ist (a+b) immer ungerade und der Exponent gerade!
> Laut Aufgabe, sollen sich die drei Zahlen auf die 3
> möglichen Summen beziehen.
> [mm]a^b+c^b; b^a+c^a[/mm] und [mm]a^c+b^c.[/mm] Oder sehe ich etwa falsch?
Das verstehe ich überhaupt nicht.
Wovon redest Du?
Formuliere doch die Aufgabe noch einmal. Ich habe den Eindruck, wir reden völlig aneinander vorbei.
Wenn Du sie im Netz gefunden hast, kannst Du natürlich auch den Link mitteilen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Ferma |
werde versuchen, besser zu vermitteln.
Drei Zahlen sind gegeben und die müssen gleich mit einem primitiven(od. elementaren?)Pythagoreischen Tripel sein. Ich habe als Beispiel 15,5 und 17 gewählt. Exponent darf nur 15,5 oder 17 sein. Die 3 möglichen Summen:
[mm] S1=15^5+17^5
[/mm]
S2=5^15+17^15
S3=5^17+15^17
Die Tripel dienen bloß der Berechnung von 3 neuen Zahlen. Mindestens eine davon soll eine Primzahl sein.
Gruß, Ferma
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Hallo nochmal,
es wird nicht besser.
> werde versuchen, besser zu vermitteln.
> Drei Zahlen sind gegeben und die müssen gleich mit einem
> primitiven(od. elementaren?)Pythagoreischen Tripel sein.
Warum? Ist das in der Aufgabe gesetzt oder folgerst Du das aus irgendetwas?
> Ich habe als Beispiel 15,5 und 17 gewählt.
Das ist kein pythagoreisches Tripel.
> Exponent darf
> nur 15,5 oder 17 sein. Die 3 möglichen Summen:
> [mm]S1=15^5+17^5[/mm]
> S2=5^15+17^15
> S3=5^17+15^17
> Die Tripel dienen bloß der Berechnung von 3 neuen Zahlen.
> Mindestens eine davon soll eine Primzahl sein.
Also [mm] S_1, S_2 [/mm] oder [mm] S_3, [/mm] ja?
Dann immer noch: der Exponent muss gerade sein, und eine der beiden andern Zahlen muss gerade sein, die andere ungerade.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
es ist kompliziert genug, dann noch so was! Anstelle 5 soll es 8 heißen. also [mm] 15^2+8^2=17^2
[/mm]
Das PPT: 15,8,17.
> Dann immer noch: der Exponent muss gerade sein, und eine
> der beiden andern Zahlen muss gerade sein, die andere
> ungerade.
Also ist es unmöglich, dass die Summe eine Primzahl ergibt! Denn, nach Deiner Meinung müssen 2 Zahlen gerade, und eine ungerade sein. Doch so ein PPT gibt es nicht, oder doch?
Gruß, Ferma
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Hallo Ferma,
aha.
Damit ist immer noch nicht geklärt, wieso die drei Zahlen a,b,c eigentlich ein pythagoreisches Tripel sein müssen.
> es ist kompliziert genug, dann noch so was! Anstelle 5
> soll es 8 heißen. also [mm]15^2+8^2=17^2[/mm]
> Das PPT: 15,8,17.
Schon besser. 
> > Dann immer noch: der Exponent muss gerade sein, und eine
> > der beiden andern Zahlen muss gerade sein, die andere
> > ungerade.
> Also ist es unmöglich, dass die Summe eine Primzahl
> ergibt! Denn, nach Deiner Meinung müssen 2 Zahlen gerade,
> und eine ungerade sein. Doch so ein PPT gibt es nicht, oder
> doch?
Ich verbreite hier keine Meinung. Das kannst Du alles leicht selbst nachrechnen.
Und in der Tat gibt es kein pythagoreisches Tripel mit zwei geraden und einer ungeraden Zahl.
Wenn also a,b,c aus welchen Gründen auch immer ein pyth.Tripel sein sollen, dann kann weder [mm] a^b+c^b [/mm] noch [mm] a^c+b^c [/mm] noch [mm] b^a+c^a [/mm] eine Primzahl sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:59 Di 30.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
> Dann immer noch: der Exponent muss gerade sein, und eine
> der beiden anderen Zahlen muss gerade sein, die andere
> ungerade.
Wie kann man das beweisen?
Das ist meine letzte Frage zu diesem Thema, versprochen!
Gruß, Ferma
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Hallo Ferma,
> > Dann immer noch: der Exponent muss gerade sein, und
> eine
> > der beiden anderen Zahlen muss gerade sein, die andere
> > ungerade.
> Wie kann man das beweisen?
Sei [mm] a,b,c\in\IN [/mm] und [mm] p\in\IP.
[/mm]
Gesucht ist eine Lösung [mm] a^c+b^c=p
[/mm]
1) Trivialer Fall: [mm] $p=2\Rightarrow [/mm] a=b=1, c$ beliebig.
2) Alle anderen p sind ungerade. Also muss (a+b) ungerade sein, d.h. entweder a gerade, b ungerade oder umgekehrt.
3) Für c ungerade und c>1 sei nun c=2k+1, [mm] k\in\IN.
[/mm]
Dann ist [mm] b\equiv-a\mod{(a+b)}. [/mm]
[mm] \Rightarrow a^{2k+1}+b^{2k+1}\equiv a^{2k}*(a-a)\equiv 0\mod{(a+b)}\Rightarrow a^c+b^c [/mm] ist nicht prim.
Hier ist noch zu zeigen, dass [mm] a+b\equiv 0\mod{p} [/mm] auch nicht möglich ist.
Diesen Schritt lasse ich Dir mal. Möglich ist überhaupt nur a+b=p, und dann ist [mm] a^c+b^c>p.
[/mm]
Also muss c gerade sein.
Insgesamt ist also entweder a oder b gerade und c ist gerade.
Also können a,b,c kein pythagoreisches Tripel sein.
Ich verstehe immer noch nicht, wieso sie überhaupt eins sein sollen, aber das willst Du ja offenbar auch nicht erklären.
Grüße
reverend
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