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Potenzzahlen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Do 02.06.2005
Autor: Edi1982

Hallo Leute.

Ich sitze am folgenden Beweis fest:

Für a > 0 und  [mm] m\in\IN [/mm] haben wir [mm] a^m [/mm] und [mm] a^{\bruch{1}{m}} [/mm] bereits definiert. Setze

[mm] a^0 [/mm] = 1, [mm] a^{-m} [/mm] = [mm] (a^m)^{-1} [/mm]   und   [mm] a^{-\bruch{1}{m}} [/mm] = [mm] (a^{\bruch{1}{m}})^{-1} [/mm] .

Zeigen Sie, dass sich dann [mm] a^x [/mm] für alle [mm] x\in\IQ [/mm] so definieren lässt, dass

[mm] a^{x+y} [/mm] = [mm] a^{x}a^{y} [/mm]    und    [mm] (a^x)^y [/mm] = [mm] a^{xy} [/mm]     für alle [mm] x,y\in\IQ. [/mm]

Ich weiss nicht wie ich da vorgehen soll.

Brauche Hilfe.

        
Bezug
Potenzzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Do 02.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Der Trick ist, dass ich $x$ und $y$ als Brüche darstellen lassen, z.B. [mm] $x=\bruch{m}{n},\ y=\bruch{p}{q}$, [/mm] wobei [mm] $m,p\in\IZ,\ n,q\in\IN$. [/mm]
Definiere nun [mm] $a^x:=\left(a^{\bruch 1n}\right)^m$, $a^y$ [/mm] analog.
Jetzt kannst du dich auf die Potenzregeln für natürliche Zahlen zurückziehen!

Weißt du jetzt, wie du die Gleichungen zeigen kannst?

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
Potenzzahlen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Do 02.06.2005
Autor: Edi1982

Danke für die gute Erklärung!

Hab's mit deiner Hilfe raus.


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