Poynting-Satz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 21.10.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | a) Die Ladungs- und Stromverteilungen seien so, dass diese zu einer Zeit t die Felder E und B erzeugen. Machen Sie sich klar, dass die in einem Zeitschritt dt an einer Punktladung q verrichtete Arbeit gegeben ist als
[mm] F\cdot [/mm] dl = [mm] q(E+v\times B)\cdot [/mm] v dt
Integrieren Sie über den gesamten Raum, um die Änderung der Gesamtarbeit W zu erhalten.
b) Verwenden Sie nun eine geeignete Maxwellgleichung, um die Stromdichte zu entfernen. Durch geeignete Umformung erhalten Sie dann den Satz von Poyting
dW/dt = [mm] \int_V E\cdot [/mm] j dV = -d/dt [mm] \int_V \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{\mu_0} B^2)dV -\frac{1}{\mu_0}\int_F E\times [/mm] B [mm] \cdot [/mm] df |
Hallo,
ich komme mit obiger Aufgabe nicht wirklich weiter. Mir ist denke ich zwar klar, dass [mm] F\cdot [/mm] dl die gegebene Form haben muss, aber die Integration bereitet mir Probleme.
Ersetze ich [mm] q=\rho [/mm] dV so erhalte ich ja sowas wie
[mm] \int_V F\cdot [/mm] dl dV = [mm] \int_V \rho(E+v\times B)\cdot [/mm] v dt dV
und dann ist ja [mm] j=\rho [/mm] v
[mm] =\int_V (E+v\times B)\cdot [/mm] j dt dV
Aber so richtig bringt mich das nicht weiter.
Kann mir da vllt. wer auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 So 21.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Die Ladungs- und Stromverteilungen seien so, dass diese
> zu einer Zeit t die Felder E und B erzeugen. Machen Sie
> sich klar, dass die in einem Zeitschritt dt an einer
> Punktladung q verrichtete Arbeit gegeben ist als
> [mm]F\cdot[/mm] dl = [mm]q(E+v\times B)\cdot[/mm] v dt
> Integrieren Sie über den gesamten Raum, um die Änderung
> der Gesamtarbeit W zu erhalten.
> b) Verwenden Sie nun eine geeignete Maxwellgleichung, um
> die Stromdichte zu entfernen. Durch geeignete Umformung
> erhalten Sie dann den Satz von Poyting
> [mm]dW/dt = \int_V E\cdot j dV = -d/dt \int_V \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2)dV -\frac{1}{\mu_0}\int_F E\times B \cdot df[/mm]
>
> Hallo,
> ich komme mit obiger Aufgabe nicht wirklich weiter. Mir
> ist denke ich zwar klar, dass [mm]F\cdot dl[/mm] die gegebene Form
> haben muss, aber die Integration bereitet mir Probleme.
> Ersetze ich [mm]q=\rho dV[/mm] so erhalte ich ja sowas wie
> [mm]\int_V F\cdot dl dV = \int_V \rho(E+v\times B)\cdot v dt dV[/mm]
Erst einmal solltest du bedenken, dass [mm] $v\times [/mm] B$ senkrecht auf v steht.
Dann wird gar nicht über den gesamten Raum integriert, sondern über ein gegebenes Volumen V (das ist falsch formuliert):
[mm] dW/dt = \int_{V} \rho E*vdV = \int_{V} E*jdV [/mm]
Und jetzt ersetzt du j.
Tipp: [mm] $\nabla [/mm] * [mm] (E\times [/mm] B)= [mm] B(\nabla \times [/mm] E)- [mm] E(\nabla\times [/mm] B)$ .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 21.10.2012 | | Autor: | adefg |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
Also ziehe ich das dt aus [mm] \rho E\cdot [/mm] j dV dt einfach auf die andere Seite und integriere?
Das ergibt dann die von dir geschrieben Gleichung dW/dt = [mm] \int_V E\cdot [/mm] j dV
Zum Ersetzen von j kommt ja eigentlich nur die Maxwell-Gleichung
[mm] \nabla\times [/mm] B - [mm] \frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{4\pi}{c}j [/mm] ein, aber das bringe ich irgendwie nicht so richtig mit deinem Tipp zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 21.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zum Ersetzen von j kommt ja eigentlich nur die
> Maxwell-Gleichung
> [mm]\nabla\times B - \frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{4\pi}{c}j[/mm] ein,
Falsches Einheitensystem: die Aufgabe geht doch vom SI aus, nicht vom CGS.
> aber das bringe ich irgendwie nicht
> so richtig mit deinem Tipp zusammen?
Wie weit bist du denn gekommen? Schreibs mal auf! Ein bischen Umstellen musst du schon selbst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 21.10.2012 | | Autor: | adefg |
Oh, stimmt. Die VL ist in CGS, deswegen werf ich das manchmal durcheinander.
Also nochmal: Die Maxwell-Gleichung in SI ist ja [mm] \nabla\times [/mm] B [mm] =\mu_0 [/mm] j [mm] +\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}. [/mm]
Die habe ich umgestellt nach j und das eingesetzt in die Gleichung
dW/dt [mm] =\int_V \frac{1}{\mu_0} \nabla\times B\cdot [/mm] E - [mm] \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \cdot [/mm] E dV
Mit den im Integranden auftretenden Termen kann ich allerdings nicht viel anfangen hinsichtlich Vereinfachung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 22.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh, stimmt. Die VL ist in CGS, deswegen werf ich das
> manchmal durcheinander.
>
> Also nochmal: Die Maxwell-Gleichung in SI ist ja
> [mm]\nabla\times[/mm] B [mm]=\mu_0[/mm] j [mm]+\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}.[/mm]
> Die habe ich umgestellt nach j und das eingesetzt in die
> Gleichung
>
> dW/dt [mm]=\int_V \frac{1}{\mu_0} \nabla\times B\cdot[/mm] E -
> [mm]\epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \cdot[/mm] E dV
>
> Mit den im Integranden auftretenden Termen kann ich
> allerdings nicht viel anfangen hinsichtlich Vereinfachung
Den ersten Term [mm] $E(\nabla\times [/mm] B) $ formst du mittels meines Tipps $ [mm] \nabla \cdot{} (E\times [/mm] B)= [mm] B(\nabla \times [/mm] E)- [mm] E(\nabla\times [/mm] B) $ um, und für den zweiten kehrst du die Kettenregel um: du willst doch auf die Zeitableitung von [mm] $E^2$ [/mm] kommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mo 22.10.2012 | | Autor: | adefg |
oh man, ich hab einfach nur falsch hingeguckt, das ist ja wirklich gar nicht mehr schwer jetzt. Vielen Dank!!
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