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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Pq-Formel bei Ungleichung
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Pq-Formel bei Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Di 20.10.2009
Autor: tobster

Guten Abend.

Ich habe eine kurze Frage zu Ungleichungen. Genauer gesagt ob ich diese mit pq-Formeln auflösen darf.
Folgende Beispiele:
[mm]\bruch{a^{2}-4}{|a| +2} > 2 [/mm]
Dieses habe ich aufgelöst bis zum Punkt:
[mm]a^{2}+|a| +8 > 0[/mm]
Jetzt habe ich die pq-Formel angewandt:
[mm]|a| > 1\pm\wurzel{3}[/mm]

Daraus folgt dann:
|a| > 4 und |a| > -2 (geht nicht)
und somit dass gilt
[mm]\bruch{a^{2}-4}{|a| +2} > 2 [/mm] für a <-4 oder a >4

Darf ich das so anwenden? Also darf ich die pq-Formel bei Ungleichungen machen? Stimmt die Aufgabe dann so?

Vielen Dank für jede Hilfe :-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Di 20.10.2009
Autor: Loddar

Hallo tobster!


Grundsätzlich darfst Du die MBp/q-Formel auch bei Ungleichungen anwenden.
Man sollte sich aber klar machen, wie man die erhaltenen Ergebnisse zu interpretieren hat.


> [mm]\bruch{a^{2}-4}{|a| +2} > 2[/mm]
> Dieses habe ich aufgelöst bis zum Punkt:
> [mm]a^{2}+|a| +8 > 0[/mm]

[notok] Das muss $... \ [mm] \red{-} [/mm] \ 8$ heißen.
Damit ergeben sich auch wunderschöne glatte Werte.


> Jetzt habe ich die pq-Formel angewandt:
> [mm]|a| > 1\pm\wurzel{3}[/mm]
>  
> Daraus folgt dann:
> |a| > 4 und |a| > -2 (geht nicht)

Und genau das ist dann evtl. ein Fehlschluss. Die Ergebnisse der p/q-Formel lassen sich nun wie folgt verarbeiten:

[mm] $$(|a|-a_1)*(|a|-a_2) [/mm] \ > \ 0$$
Und ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben (also beide positiv oder beide negativ).


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Di 20.10.2009
Autor: tobster

Danke, das mit der +8 war ein Schreibfehler.

Das heißt ich muss meine zwei Werte noch in deine untere Gleichung einsetzen.

[mm](|a|-a_1)\cdot{}(|a|-a_2) > 0 [/mm]
Das bedeutet ja in dem Fall das gar nicht geht, oder sehe ich das falsch?
[mm](|a|*-4)\cdot{}(|a|+2) >0 [/mm]

Das ist ja nie größer 0, das hieße ja die Gleichung hätte keine Lösung bzw. es wäre nie erfüllt, das kann aber doch nicht sein oder?

Ich danke im voraus, stehe etwas auf dem Schlauch :-(

Bezug
                        
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Di 20.10.2009
Autor: leduart

Hallo
> $ [mm] \bruch{a^{2}-4}{|a| +2} [/mm] > 2 $
> Dieses habe ich aufgelöst bis zum Punkt:
> $ [mm] a^{2}+|a| [/mm] +8 > 0 $

aus dem ersten post. hat 2 Fehler!
richtig ist
[mm] a^{2}-|a| [/mm] -8 > 0
aber das ist eine schlechte Umformung
besser Fallunterschaeidung:
1. a>0 man kann kuerzen denn Nenner =a+2
es bleibt a-2>0 ueber,
2. a<0 Nenner 2-awieder kuerzen
es bleit -a-2>0
Gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Di 20.10.2009
Autor: tobster

Danke!

Vielleicht stehe ich jetzt ganz auf dem Schlauch aber mit deiner Methode komme ich nicht auf dein Ergebnis.

Angenommen a>0, dann soll a-2>0 rauskommen.
Wie kann ich denn da kürzen, das ist doch eine Summe.
[mm]\bruch{a^{2}-4}{a +2} > 2[/mm]

Kannst Du mir kurz den Zwischenschritt erläutern?


Bezug
                                        
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: 3. binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Di 20.10.2009
Autor: Loddar

Hallo tobster!


Vor dem Kürzen musst Du im Zähler auch erst die 3. binomische Formel anwenden und faktorisieren.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Pq-Formel bei Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:18 Mi 21.10.2009
Autor: tobster

Danke, ich habe es nun gelöst :-)

Bezug
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