Prädikatenlogik < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 16.02.2014 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Sei L = { f, R, c } eine Sprache der Logik erster Stufe mit zweistelligem Funktionssymbol f, zweistelligem Prädikatensymbol R und Konstantensymbol c. Welche der folgenden Aussagen sind gültig in der L-Struktur $ [mm] (\IN, [/mm] +, [mm] \le, [/mm] 0) $? Und welche in der L-Struktur $ [mm] (\IQ, \cdot, \le, [/mm] 1) $?
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y : R(f(x, y), f(x, x)) $
$ [mm] \forall [/mm] x R(x, f(x, x)) $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (R(f(x, y), x) [mm] \rightarrow [/mm] y = c) $
$ [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y f(x, y) = x $ |
Ich will wissen, ob meine Lösungen richtig sind, oder ob ich falsch liege...
1)
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y : R(f(x, y), f(x, x)) $
[mm] L_1: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y : x + y [mm] \le [/mm] x + x $ ist gültig
[mm] L_2: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y : x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \le [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y $ ist auch gültig
2)
$ [mm] \forall [/mm] x R(x, f(x, x)) $
[mm] L_1: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x x [mm] \le [/mm] x +x $ ist gültig
[mm] L_2: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x x [mm] \le [/mm] x [mm] \cdot [/mm] x $ ist nicht gültig.
Gegenbeispiel: Die Aussage stimmt nicht [mm] \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
3)
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (R(f(x, y), x) [mm] \rightarrow [/mm] y = c) $
[mm] L_1: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y x + y [mm] \le [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] y = 0 $ ist gültig
[mm] L_2: [/mm] $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \le [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] y = 1 $ ist nicht gültig.
Gegenbeispiel: [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}
[/mm]
4)
$ [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y f(x, y) = x $
[mm] L_1: [/mm] $ [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y x + y = x $
Die Aussage stimmt nur dann, wenn y = 0, aber die natürlichen Zahlen bestehen aus mehr Zahlen als nur aus der 0.
[mm] L_2 [/mm] : $ [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] x x [mm] \cdot [/mm] y = x $ Die Aussage ist gültig, da x =0 in [mm] \IQ [/mm] existiert.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Mo 17.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki!
> Sei L = { f, R, c } eine Sprache der Logik erster Stufe mit
> zweistelligem Funktionssymbol f, zweistelligem
> Prädikatensymbol R und Konstantensymbol c. Welche der
> folgenden Aussagen sind gültig in der L-Struktur [mm](\IN, +, \le, 0) [/mm]?
> Und welche in der L-Struktur [mm](\IQ, \cdot, \le, 1) [/mm]?
>
>
> [mm]\forall x \exists y : R(f(x, y), f(x, x))[/mm]
> [mm]\forall x R(x, f(x, x))[/mm]
>
> [mm]\forall x \forall y (R(f(x, y), x) \rightarrow y = c)[/mm]
>
> [mm]\exists x \forall y f(x, y) = x[/mm]
> Ich will wissen, ob meine
> Lösungen richtig sind, oder ob ich falsch liege...
> 1)
> [mm]\forall x \exists y : R(f(x, y), f(x, x))[/mm]
> [mm]L_1:[/mm] [mm]\forall x \exists y : x + y \le x + x[/mm]
> ist gültig
Wenn du mit [mm] $L_1$ [/mm] die L-Struktur [mm] $(\IN, [/mm] +, [mm] \le, [/mm] 0)$ meinst: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Begründung in Kurzform: Gegeben [mm] $x\in\IN$ [/mm] wähle $y:=x$.)
> [mm]L_2:[/mm] [mm]\forall x \exists y : x \cdot y \le x \cdot y[/mm] ist
> auch gültig
> 2)
> [mm]\forall x R(x, f(x, x))[/mm]
> [mm]L_1:[/mm] [mm]\forall x x \le x +x[/mm] ist
> gültig
(Begründung: Für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] ist [mm] $0\le [/mm] x$.)
> [mm]L_2:[/mm] [mm]\forall x x \le x \cdot x[/mm] ist nicht gültig.
> Gegenbeispiel: Die Aussage stimmt nicht [mm]\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> 3)
> [mm]\forall x \forall y (R(f(x, y), x) \rightarrow y = c)[/mm]
> [mm]L_1:[/mm]
> [mm]\forall x \forall y x + y \le x \rightarrow y = 0[/mm] ist
> gültig
(Begründung: Für [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] folgt aus [mm] $x+y\le [/mm] x$, dass [mm] $y\le [/mm] 0$ gilt und somit wegen [mm] $y\in\IN$ [/mm] schon $y=0$.)
> [mm]L_2:[/mm] [mm]\forall x \forall y x \cdot y \le x \rightarrow y = 1[/mm]
> ist nicht gültig.
> Gegenbeispiel: [mm]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}[/mm]
> 4)
> [mm]\exists x \forall y f(x, y) = x[/mm]
> [mm]L_1:[/mm] [mm]\exists x \forall y x + y = x[/mm]
>
> Die Aussage stimmt nur dann, wenn y = 0, aber die
> natürlichen Zahlen bestehen aus mehr Zahlen als nur aus
> der 0.
Idee korrekt. Vergiss nicht, dein Ergebnis / deine Antwort aufzuschreiben!
Ich würde es wie folgt machen:
Die Aussage ist in der Struktur [mm] $(\IN, [/mm] +, [mm] \le, [/mm] 0)$ nicht gültig.
Begründung: Angenommen es existiert eine Zahl [mm] $x\in\IN$ [/mm] mit $x + y = x$ für alle [mm] $y\in\IN$. [/mm] Dann gilt insbesondere $x+1=x$ und somit $1=0$, Widerspruch.
> [mm]L_2[/mm] : [mm]\exists x \forall x x \cdot y = x[/mm] Die Aussage ist
> gültig, da x =0 in [mm]\IQ[/mm] existiert.
(Abgesehen vom Tippfehler, dass hinter dem Allquantor ein y statt ein x stehen muss:)
Schön!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 17.02.2014 | | Autor: | starki |
Danke für die Rückmeldung :)
|
|
|
|
