Prämaße/Menge Ver. Intervalle < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] F^1 [/mm] bezeichnet im Folgenden die Menge aller endlichen Vereinigungen von Intervallen der Form [a,b) , a,b [mm] \in \IR [/mm] , a [mm] \le [/mm] b .
a) Sei [mm] \mu [/mm] : [mm] F^1 \to \IR [/mm] ein endlicher Inhalt und sei F : [mm] \IR \to \IR [/mm] def. durch:
F(x)= [mm] \begin{cases} \mu ([0,x[) , falls x \ge 0 \\ - \mu ([x,0[) , & falls x < 0 \end{cases}
[/mm]
Dann ist F nichtfallend und es gilt [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu_{F} [/mm] .
b)
Ist [mm] \mu_{F} [/mm] ein Prämaß, so ist F linksseitig stetig. |
Huhu zusammen!
Ist lange her dass ich hier Fragen gestellt habe aber bei Analysis 3 kommt man nicht drum rum :P
Hier geht es in erster Linie darum zu verstehen, was eigentlich dieses
[mm] \mu_{F} [/mm] bedeutet. [mm] \mu [/mm] ist ein Maß, aber was ist [mm] \mu_{F} [/mm] ? ist das ein Maß definiert auf die Funktion? Kann mir das jemand erklären?^^
Liebe Grüße,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Eve!
Für jede monoton steigende Abbildung [mm]F\colon\IR\to\IR[/mm] erhalten wir einen endlichen Inhalt auf der Menge der Intervalle der Form [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm] durch
[mm]\widetilde{\mu_F}([a,b)):=F(b)-F(a)[/mm].
[mm]\mu_F[/mm] bezeichnet den eindeutig bestimmten endlichen Inhalt auf [mm]F^1[/mm], der [mm]\widetilde{\mu_F}[/mm] fortsetzt.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo Eve!
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> Für jede monoton steigende Abbildung [mm]F\colon\IR\to\IR[/mm]
> erhalten wir einen endlichen Inhalt auf der Menge der
> Intervalle der Form [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm] durch
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> [mm]\widetilde{\mu_F}([a,b)):=F(b)-F(a)[/mm].
>
> [mm]\mu_F[/mm] bezeichnet den eindeutig bestimmten endlichen Inhalt
> auf [mm]F^1[/mm], der [mm]\widetilde{\mu_F}[/mm] fortsetzt.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias!
Danke für die Info :)
Also ich hab jetzt mal ein bisschen dran rumprobiert und hoffe dass dies hier der Beweis dafür ist, dass [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu_{F} [/mm] :
Sei a < b :
1. Fall:
a,b [mm] \ge [/mm] 0. Dann ist mit F :
F(b)- F(a) = [mm] \mu [/mm] ([0,b)) - [mm] \mu [/mm] ([0,a))
= [mm] \mu [/mm] ([0,a)) + [mm] \mu [/mm] ( [a,b)) - [mm] \mu [/mm] ([0,a))
= [mm] \mu [/mm] ([a,b))
2. Fall
a < 0, b [mm] \ge [/mm] 0 :
F(b)- F(a) = [mm] \mu [/mm] ([0,b)) + \ ([a,0)) = [mm] \mu [/mm] ([a,b))
3. Fall
a,b < 0:
F(b) - F(a) = [mm] -\mu [/mm] ([b,0)) + [mm] \mu [/mm] ([a,0)) , da a < b = [mm] \mu([a,b))
[/mm]
Reicht dies oder ist das ganz was anderes?
Zu dem Beweis, dass F nichtfallend ist, ich glaube [mm] F^1 [/mm] ist ein Ring, also gilt die Monotonie für zwei Intervalle A,B mit A [mm] \subseteq [/mm] B, dass [mm] \mu [/mm] (A) [mm] \le \mu [/mm] (B) . Also ist für a,b [mm] \ge [/mm] 0 mit a<b auch [mm] \mu [/mm] ([0,a)) [mm] \le \mu [/mm] ([0,b))
und im zweiten Fall ist für a< 0, b [mm] \ge [/mm] 0 offensichtlich auch [mm] -\mu([a,0)) \le \mu [/mm] ([0,b))
auch im dritten Fall ,a,b <0 ist - [mm] \mu [/mm] ([a,0)) [mm] \le [/mm] - [mm] \mu [/mm] ([b,0))
=> nicht fallend.
Hoffe das ist richtig so :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
(Im 3. Fall müsste es [mm]a\le b[/mm] statt [mm]a
Du hast korrekt nachgewiesen, dass [mm]\mu_F([a,b))=\mu([a,b))[/mm] für alle [mm]a\le b[/mm] gilt.
Somit stimmen die Inhalte [mm]\mu_F[/mm] und [mm]\mu[/mm] auch auf [mm]F^1[/mm] überein (und nicht nur auf der Menge der Intervalle [mm][a,b)[/mm] mit [mm]a\le b[/mm]).
Auch dass [mm]F[/mm] überhaupt monoton steigend ist, hast du korrekt bewiesen.
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Juhu :)
Danke fürs drüber gucken :D
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