Präordnung, Ordnung, kleiner < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Do 24.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im Skript steht:
In Präordnungen(reflexivität+transitivität) muss "<" als
(kl) [mm] \gamma [/mm] < [mm] \mu: \iff \gamma \le \mu \wedge \mu \not\le \gamma [/mm] defniert werden und nicht als
(kl') [mm] \gamma [/mm] < [mm] \mu :\iff \gamma \le \mu \wedge \gamma \not= \mu
[/mm]
In Halbordnungen(Präordnung+Antisymmetrie) gilt aber (kl) [mm] \iff [/mm] (kl') |
Wir haben also eine Halborundnung [mm] (\Gamma, \le)
[/mm]
[mm] \Leftarrow)
[/mm]
Sei [mm] \gamma [/mm] < [mm] \mu [/mm] in der Definition von (kl') mit [mm] \gamma, \mu \in \Gamma [/mm] bel.
Wäre [mm] \mu \le \gamma [/mm] würde aus der Antisymmetrie und [mm] \gamma \le \mu [/mm] folgen [mm] \gamma [/mm] = [mm] \mu. [/mm] Ein Widerspruch. Demnach folgt [mm] \gamma \le \mu \wedge \mu \not\le \gamma. [/mm] D.h. [mm] \gamma [/mm] < [mm] \mu [/mm] in der Definition von (kl)
Aber wie folgt die andere Richtung?
[mm] \Rightarrow)
[/mm]
Sei [mm] \gamma [/mm] < [mm] \mu [/mm] in der Definirion von (kl) mit [mm] \gamma, \mu \in \Gamma [/mm] bel.
ZZ.: [mm] \gamma \not= \mu
[/mm]
Bedeutet [mm] \gamma [/mm] = [mm] \mu [/mm] automatisch, dass [mm] \gamma \le \mu \wedge \mu \le \gamma [/mm] oder wie ist das definiert?
Also gilt die Richtung schon in jeder Präordnung?
Ein Gegenbeispiel:
Eine Präordnung ohne Antisymmetrie wäre der Betrag der komplexen Zahlen:
[mm] \Gamma [/mm] = [mm] \mathbb{C}
[/mm]
x [mm] \le [/mm] y [mm] :\iff [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |y|
So ist 1 [mm] \le [/mm] i (da |1|=1 [mm] \le [/mm] 1=|i|) und es gilt [mm] i\not=1. [/mm] Also in der Definition von (kl'): 1 < i.
Aber i [mm] \le [/mm] 1 (da |i|=1 [mm] \le [/mm] 1=|1|) gilt genauso woraus 1 < i nicht gilt in der definition von (kl)
Lg,
sissi
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Hallo,
Ja, aus [mm] $\gamma=\mu$ [/mm] folgt [mm] $\gamma\le\mu$, [/mm] das ist genau die Reflexivität.
Beachte übrigens, dass in einer Präordnung durch [mm] $x\sim y\iff x\le y\land y\le [/mm] x$ eine Äquivalenzrelation definiert wird, und dass auf [mm] $X/\sim$ [/mm] durch [mm] $[x]\le[y]\iff x\le [/mm] y$ eine Halbordnung definiert wird. Diese Halbordnung trägt im Wesentlichen dieselben Informationen (das lässt sich präzisieren), insofern wird sich oft auf Halbordnungen eingeschränkt - ob das gut ist, ist eine andere Fräge. Eigentlich sind Präordnungen die "gutartigeren" bzw. "natürlicheren" Objekte. Die von mir beschriebene Konstruktion ist ein linksadjungierter Funktor zum Vergissfunktor, der jede Halbordnung als Präordnung interpretiert.
Übung: Zu welcher bekannten halbgeordneten Menge ist [mm] $\IC/\sim$ [/mm] (quasi per Konstruktion) ordnungsisomorph?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 24.09.2015 | | Autor: | sissile |
> Hallo,
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> Ja, aus [mm]\gamma=\mu[/mm] folgt [mm]\gamma\le\mu[/mm], das ist genau die
> Reflexivität.
Sehr gut ,danke!
> Beachte übrigens, dass in einer Präordnung durch [mm]x\sim y\iff x\le y\land y\le x[/mm]
> eine Äquivalenzrelation definiert wird, und dass auf
> [mm]X/\sim[/mm] durch [mm][x]\le[y]\iff x\le y[/mm] eine Halbordnung
> definiert wird.
Alles klar, muss man da auch zeigen, dass diese Definition wohldefiniert ist, also nicht vom Repräsentanten abhängig ist? Oder ist das hier nicht notwendig?
Also [mm] x_1 \sim x_2, y_1 \sim y_2 [/mm] und es gelte [mm] [x_1] \le [y_1].
[/mm]
ZZ.: [mm] [x_2]\le [y_2]
[/mm]
Da [mm] x_1 \sim x_2 [/mm] : [mm] x_1 \le x_2 \wedge x_2 \le x_1 [/mm] und analog [mm] y_1 \sim y_2: y_1 \le y_2 \wedge y_2 \le y_1
[/mm]
Aus der Transitivität der Präordnung folgt [mm] x_2 \le y_2
[/mm]
D.h. [mm] [x_2] \le [y_2]
[/mm]
> Übung: Zu welcher bekannten halbgeordneten Menge ist
> [mm]\IC/\sim[/mm] (quasi per Konstruktion) ordnungsisomorph?
Meinst du [mm] z\sim [/mm] w [mm] \gdw |z|\le |w|\wedge |w|\le [/mm] |z| also wenn |z|=|w|
Zwei komplexe Zahlen sind in der gleichen Äquivalenzklasse wenn sie gleichen Abstand vom Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene haben. Also bilden die Äquivalenzklassen geometrisch die konzentrischen Kreise in der Gaußschen Zahlenebene.
Aber ich glaub das meintest du nicht...?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Do 24.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> > Beachte übrigens, dass in einer Präordnung durch [mm]x\sim y\iff x\le y\land y\le x[/mm]
> > eine Äquivalenzrelation definiert wird, und dass auf
> > [mm]X/\sim[/mm] durch [mm][x]\le[y]\iff x\le y[/mm] eine Halbordnung
> > definiert wird.
> Alles klar, muss man da auch zeigen, dass diese Definition
> wohldefiniert ist, also nicht vom Repräsentanten abhängig
> ist?
Genau so ist es! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also [mm]x_1 \sim x_2, y_1 \sim y_2[/mm] und es gelte [mm][x_1] \le [y_1].[/mm]
(Besser: ... und es gelte [mm] $x_1\le y_1$.)
[/mm]
> ZZ.: [mm][x_2]\le [y_2][/mm]
(Besser: ZZ.: [mm] $x_2\le y_2$.)
[/mm]
> Da [mm]x_1 \sim x_2[/mm] : [mm]x_1 \le x_2 \wedge x_2 \le x_1[/mm]
> und analog [mm]y_1 \sim y_2: y_1 \le y_2 \wedge y_2 \le y_1[/mm]
>
> Aus der Transitivität der Präordnung folgt [mm]x_2 \le y_2[/mm]
(Den letzten Schritt hätte ich gerne näher ausgeführt gesehen, aber das ist möglicherweise Geschmackssache.)
Völlig korrekt!
> > Übung: Zu welcher bekannten halbgeordneten Menge ist
> > [mm]\IC/\sim[/mm] (quasi per Konstruktion) ordnungsisomorph?
> Meinst du [mm]z\sim[/mm] w [mm]\gdw |z|\le |w|\wedge |w|\le[/mm] |z| also
> wenn |z|=|w|
> Zwei komplexe Zahlen sind in der gleichen
> Äquivalenzklasse wenn sie gleichen Abstand vom Nullpunkt
> in der Gaußschen Zahlenebene haben. Also bilden die
> Äquivalenzklassen geometrisch die konzentrischen Kreise in
> der Gaußschen Zahlenebene.
Auch das stimmt (wenn man auch die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] als konzentrischen Kreis ansieht).
> Aber ich glaub das meintest du nicht...?
Ich gehe davon aus, dass UniversellesObjekt auf Folgendes hinaus wollte:
Die Abbildung
[mm] $f\colon\IC/\sim\to\IR_{\ge0},\quad [z]\to [/mm] |z|$
bildet einen wohldefinierten Ordnungsisomorphismus, wenn man die Menge [mm] $\IR_{\ge0}$ [/mm] der nichtnegativen reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung [mm] $\le$ [/mm] versieht.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 25.09.2015 | | Autor: | sissile |
> > > Übung: Zu welcher bekannten halbgeordneten Menge ist
> > > [mm]\IC/\sim[/mm] (quasi per Konstruktion) ordnungsisomorph?
> > Meinst du [mm]z\sim[/mm] w [mm]\gdw |z|\le |w|\wedge |w|\le[/mm] |z| also wenn |z|=|w|.
> Die Abbildung
>
> [mm]f\colon\IC/\sim\to\IR_{\ge0},\quad z\to |z|[/mm]
>
> bildet einen wohldefinierten Ordnungsisomorphismus, wenn
> man die Menge [mm]\IR_{\ge0}[/mm] der nichtnegativen reellen Zahlen
> mit der gewöhnlichen Ordnung [mm]\le[/mm] versieht.
Hallo,
Danke für die Antwort!
Wohldefiniert:
x,y [mm] \in [/mm] [z], d.h. x [mm] \sim [/mm] z, [mm] y\sim [/mm] z
Da die Äquivalenzrelation symmetrisch ist folgt z [mm] \sim [/mm] y. Aus der Transitivität folgt x [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=|x|=|y|=f(y)
Injektivität:
|z|=|w| [mm] \Rightarrow z\sim [/mm] w [mm] \Rightarrow [/mm] z,w in selbe Äquivalenzklasse
Surjekivität:
r [mm] \in \mathbb{R}_{\ge 0} [/mm] so ist r [mm] \mapsto [/mm] |r|=r mit r [mm] \in [/mm] [z] mit|z|=r.
Solch ein z existiert, da [mm] \sim [/mm] als Äquivalenzklasse ganz [mm] \mathbb{C} [/mm] überdeckt.
Ordnung:
Ist [x] [mm] \le [/mm] [y]
ZZ.: [mm] |x|\le [/mm] |y|
In der Äquivalenzklasse [mm] \mathbb{C}/ \sim [/mm] ist:[x] [mm] \le [/mm] [y] definiert als [mm] x\le [/mm] y.
[mm] x\le [/mm] y ist wiederrum in [mm] (\mathbb{C},\le) [/mm] definiert ist als |x| [mm] \le [/mm] |y| .
Ist [mm] r_1 \le r_2 [/mm] in [mm] (\mathbb{R}_{\ge 0},\le) [/mm] so ist auch [mm] |r_1|=r_1 \le r_2=|r_2| [/mm] also [mm] r_1 \le r_2 [/mm] in [mm] (\mathbb{C},\le).
[/mm]
Daraus folgt [mm] [r_1] \le [r_2] [/mm] in der Äquivalenzklasse [mm] \mathbb{C}/ \sim [/mm] nach Definition.
Aber Homomorphismus ist das doch keiner?
[mm] f(z+w)=|z+w|=(z+w)*(\overline{z+w})=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=|z|+z*\overline{w} +\overline{z}w +|w|=f(z)+Re(z\overline{w})+ [/mm] f(w)
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 25.09.2015 | | Autor: | hippias |
[...]
>
> Aber Homomorphismus ist das doch keiner?
>
Es ist hier ein Homomorphismus geordneter Mengen gemeint, d.h. wenn [mm] $[x]\leq [/mm] [y]$, so folgt [mm] $f([x])\leq [/mm] f([y])$. Den Rest habe ich mir nicht angesehen.
> [mm]f(z+w)=|z+w|=(z+w)*(\overline{z+w})=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=|z|+z*\overline{w} +\overline{z}w +|w|=f(z)+Re(z\overline{w})+[/mm]
> f(w)
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > > > Übung: Zu welcher bekannten halbgeordneten Menge ist
> > > > [mm]\IC/\sim[/mm] (quasi per Konstruktion) ordnungsisomorph?
> > > Meinst du [mm]z\sim[/mm] w [mm]\gdw |z|\le |w|\wedge |w|\le[/mm] |z|
> also wenn |z|=|w|.
> > Die Abbildung
> >
> > [mm]f\colon\IC/\sim\to\IR_{\ge0},\quad z\to |z|[/mm]
> >
> > bildet einen wohldefinierten Ordnungsisomorphismus, wenn
> > man die Menge [mm]\IR_{\ge0}[/mm] der nichtnegativen reellen Zahlen
> > mit der gewöhnlichen Ordnung [mm]\le[/mm] versieht.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , leider ist mir auch hier ein Fehler unterlaufen:
Es muss
[mm]f\colon\IC/\sim\to\IR_{\ge0},\quad \blue{[}z\blue{]}\to |z|[/mm]
heißen.
> Wohldefiniert:
> x,y [mm]\in[/mm] [z], d.h. x [mm]\sim[/mm] z, [mm]y\sim[/mm] z
> Da die Äquivalenzrelation symmetrisch ist folgt z [mm]\sim[/mm] y.
> Aus der Transitivität folgt x [mm]\sim[/mm] z
Vermutlich wolltest du am Ende [mm] $x\sim [/mm] y$ statt [mm] $x\sim [/mm] z$ aus der Transitivität von [mm] $\sim$ [/mm] folgern.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(x)=|x|=|y|=f(y)
Hier übernimmst du quasi meinen Fehler, indem du z.B. $f(x)$ statt $f([x])$ schreibst.
(Mir gefällt übrigens hier auch die Schreibweise f([x]) nicht:
Solange noch nicht klar ist, dass f überhaupt wohldefiniert ist, würde ich stets $|x|$ statt $f([x])$ schreiben.
Aber an diese "Regel" halten sich viele Mathematiker nicht...)
Ich würde den Wohldefiniertheits-Beweis wie folgt notieren:
Gelte [mm] $[z_1]=[z_2]$ [/mm] für gewisse [mm] $z_1,z_2\in\IC$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $|z_1|=|z_2|$.
[/mm]
Dies folgt jedoch aus [mm] $z_1\sim z_2$.
[/mm]
> Injektivität:
> |z|=|w| [mm]\Rightarrow z\sim[/mm] w [mm]\Rightarrow[/mm] z,w in selbe
> Äquivalenzklasse
Ja.
(Zu zeigen ist hier für alle [mm] $z,w\in\IC$, [/mm] dass im Falle $f([z])=f([w])$ bereits $[z]=[w]$ gilt.)
> Surjekivität:
> r [mm]\in \mathbb{R}_{\ge 0}[/mm]
Gesucht ist ein [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $f([z])=r$.
> so ist r [mm]\mapsto[/mm] |r|=r
(Welche Definitionsmenge und Zielmenge soll diese Abbildung haben?)
Anscheinend benutzt du diese von dir eingeführte Abbildung im Folgenden nirgendwo.
> mit r [mm]\in[/mm]
> [z] mit|z|=r.
> Solch ein z existiert, da [mm]\sim[/mm] als Äquivalenzklasse ganz
> [mm]\mathbb{C}[/mm] überdeckt.
(Du meinst vermutlich, dass die Äquivalenzklassen bezüglich [mm] $\sim$ [/mm] ganz [mm] $\IC$ [/mm] überdecken.)
Ich kann dir nicht ganz folgen, warum nun ein [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $f([z])=r$ existiert.
Gib es konkret an: [mm] $z:=r\in\IC$ [/mm] leistet wegen $f([z])=|z|=|r|=r$ (wobei $|r|=r$ aus [mm] $r\in\IR_{\ge0}$ [/mm] folgt) das Gewünschte.
> Ordnung:
> Ist [x] [mm]\le[/mm] [y]
> ZZ.: [mm]|x|\le[/mm] |y|
> In der Äquivalenzklasse [mm]\mathbb{C}/ \sim[/mm] ist:[x] [mm]\le[/mm] [y]
> definiert als [mm]x\le[/mm] y.
> [mm]x\le[/mm] y ist wiederrum in [mm](\mathbb{C},\le)[/mm] definiert ist
> als |x| [mm]\le[/mm] |y| .
> Ist [mm]r_1 \le r_2[/mm] in [mm](\mathbb{R}_{\ge 0},\le)[/mm] so ist auch
> [mm]|r_1|=r_1 \le r_2=|r_2|[/mm] also [mm]r_1 \le r_2[/mm] in
> [mm](\mathbb{C},\le).[/mm]
> Daraus folgt [mm][r_1] \le [r_2][/mm] in der Äquivalenzklasse
> [mm]\mathbb{C}/ \sim[/mm] nach Definition.
[mm] ($\mathbb{C}/\sim$ [/mm] ist keine Äquivalenzklasse, sondern die Menge aller Äquivalenzklassen von [mm] $\sim$.)
[/mm]
Ja.
Und es gilt [mm] $f^{-1}(r_i)=[r_i]$ [/mm] für $i=1,2$.
Also ist für beliebige [mm] $r_1,r_2\in\IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $r_1\le r_2$ [/mm] die Ungleichung [mm] $f^{-1}(r_1)\le f^{-1}(r_2)$ [/mm] gezeigt.
Wenn man unter einem Ordnungsisomorphismus zwischen Präordnungen $X$ und $Y$ eine bijektive Abbildung [mm] $g\colon X\to [/mm] Y$ mit
[mm] $x_1\le x_2\Rightarrow g(x_1)\le g(x_2)$
[/mm]
für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ und
[mm] $y_1\le y_2\Rightarrow g^{-1}(y_1)\le g^{-1}(y_2)$
[/mm]
für alle [mm] $y_1,y_2\in [/mm] Y$ versteht, ist somit gezeigt, dass unser f ein Ordnungsisomorphismus ist.
Alternativ könnte man g auch als Ordnungsisomosphismus definieren, wenn $g$ bijektiv ist und
[mm] $x_1\le x_2\iff g(x_1)\le g(x_2)$
[/mm]
für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ gilt.
(Beide möglichen Definitionen sind äquivalent zueinander.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Do 01.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo tobit,
Vielen Dank für die Korrektur.
Ich finde das Thema sehr interessant;)
LG,
sissi
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Ich möchte gerne noch kurz mitteilen, wie man Rechnungen zur Wohldefiniertheit für immer aus seinem Leben verbannt. Man sollte am besten einmal beweisen und danach nie wieder vergessen:
Homomorphiesatz/Universelle Eigenschaft der Quotientenmenge: Ist $X$ eine Menge, [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf $X$, [mm] $f\colon X\longrightarrow [/mm] Y$ eine Abbildung mit [mm] $x\sim y\implies [/mm] fx=fy$, so existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung [mm] $X/\!\sim\longrightarrow [/mm] Y$, welche das offensichtliche Dreieck kommutativ macht. Diese ist injektiv genau dann, wenn [mm] $fx=fy\implies x\sim [/mm] y$ und surjektiv genau dann, wenn $f$ surjektiv ist.
In allen möglichen algebraischen Kategorien beweist man den Satz auch immer wieder (und zu viele Leute benutzen ihn dann nicht).
Betrachten wir also [mm] $f\colon\IC\longrightarrow\IR_+$, $x\longmapsto [/mm] |x|$. Die Abbildung ist surjektiv und es gilt per Definition [mm] $x\sim y\iff [/mm] fx=fy$. Der Homomorphiesatz liefert einen Isomorphismus (von Mengen) [mm] $\widtilde{f}\colon\IC/\!\sim\longrightarrow\IR_+$, $[x]\longmapsto [/mm] |x|$. Damit das auch ein Isomorphismus von geordneten Mengen wird, muss gelten [mm] $[x]\le[y]\iff\widetilde{f}[x]\le\widetilde{f}[y]$, [/mm] was ebenfalls gerade unsere Definition von [mm] $\le$ [/mm] auf der Quotientenmenge war.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
Danke für deinen Vorschlag! 
> Ich möchte gerne noch kurz mitteilen, wie man Rechnungen
> zur Wohldefiniertheit für immer aus seinem Leben verbannt.
Es gibt auch noch andere Wohldefiniertheits-Fragen, über die dein Homomorphiesatz nichts (oder zumindest nichts direkt) aussagt:
Beispielsweise muss man sich für die Wohldefiniertheit von [mm]f\colon\IC\longrightarrow\IR_+[/mm], [mm]x\longmapsto |x|[/mm] klar machen, dass [mm] $|x|\in\IR_+$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IC$ [/mm] gilt.
Ein anderes Beispiel: Die Wohldefiniertheit der in diesem Thread erklärten Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf [mm] $\IC/\sim$.
[/mm]
> Man sollte am besten einmal beweisen und danach nie wieder
> vergessen:
>
> Homomorphiesatz/Universelle Eigenschaft der
> Quotientenmenge: Ist [mm]X[/mm] eine Menge, [mm]\sim[/mm] eine
> Äquivalenzrelation auf [mm]X[/mm], [mm]f\colon X\longrightarrow Y[/mm] eine
> Abbildung mit [mm]x\sim y\implies fx=fy[/mm], so existiert eine
> eindeutig bestimmte Abbildung [mm]X/\!\sim\longrightarrow Y[/mm],
> welche das offensichtliche Dreieck kommutativ macht. Diese
> ist injektiv genau dann, wenn [mm]fx=fy\implies x\sim y[/mm] und
> surjektiv genau dann, wenn [mm]f[/mm] surjektiv ist.
>
> In allen möglichen algebraischen Kategorien beweist man
> den Satz auch immer wieder (und zu viele Leute benutzen ihn
> dann nicht).
Mir erscheinen die algebraischen Homomorphiesätze wesentlich nützlicher als dieser.
Vergleiche mal die beiden Beweise, dass [mm] $\widetilde{f}\colon\IC/\sim\to\IR_+$, $\widetilde{f}([x])=|x|$ [/mm] eine wohldefinierte Bijektion darstellt (die ich der besseren Vergleichbarkeit halber parallel notiere):
1. Sei [mm] $\widetilde{f}\colon\IC/\sim\to\IR_+$, $\widetilde{f}([x])=|x|$.
[/mm]
2. Sei [mm] $f\colon\IC\to\IR_+$, [/mm] $f(x)=|x|$.
1. [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] ist wohldefiniert:
Seien [mm] $x,y\in\IC$ [/mm] mit $[x]=[y]$. Dann gilt [mm] $x\sim [/mm] y$ und damit $|x|=|y|$.
2. Obiger Homomorphiesatz ist auf $f$ und [mm] $\sim$ [/mm] anwendbar:
Für alle [mm] $x,y\in\IC$ [/mm] mit [mm] $x\sim [/mm] y$ gilt $|x|=|y|$.
Somit liefert besagter Homomorphiesatz eine Abbildung [mm] $\widetilde{f}\colon\IC/\sim\to\IR_+$ [/mm] mit [mm] $\widetilde{f}\circ\pi=f$, [/mm] wobei [mm] $\pi\colon\IC\to\IC/\sim$ [/mm] definiert sei durch [mm] $\pi(x)=[x]$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IC$.
[/mm]
Diese Abbildung [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] erfüllt für alle [mm] $x\in\IC$
[/mm]
[mm] $\widetilde{f}([x])=\widetilde{f}(\pi(x))=(\widetilde{f}\circ\pi)(x)=f(x)=|x|$.
[/mm]
1. [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] ist surjektiv:
Sei [mm] $r\in\IR_+$. [/mm] Dann gilt [mm] $\widetilde{f}([r])=|r|=r$.
[/mm]
2. $f$ ist surjektiv:
Sei [mm] $r\in\IR_+$. [/mm] Dann gilt $f(r)=|r|=r$.
Nach deinem Homomorphiesatz ist auch [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] surjektiv.
1. [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] ist injektiv:
Seien [mm] $[x],[y]\in\IC/\sim$ [/mm] mit [mm] $\widetilde{f}([x])=\widetilde{f}([y])$. [/mm] Dann gilt $|x|=|y|$ und damit [mm] $x\sim [/mm] y$, also $[x]=[y]$.
2. [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] ist injektiv:
Wir nutzen wieder den Homomorphiesatz: Seien [mm] $x,y\in\IC$ [/mm] mit $f(x)=f(y)$. Dann gilt $|x|=|y|$ und damit [mm] $x\sim [/mm] y$.
Ich würde sagen: Unentschieden zwischen den beiden Beweisen. 
Ich persönlich ziehe direkte Beweise der Verwendung von Sätzen vor, wenn die Verwendung von Sätzen nicht zu einer wesentlichen Vereinfachung führt.
Daher scheint es sich für mich nicht wirklich zu lohnen, mir deinen Homomorphiesatz zu merken.
Viele Grüße
Tobias
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Hi Tobi,
Zunächst einmal hast du ein wenig geschummelt, weil du die Dinge, die der Homomorphiesatz auf einmal liefert, wieder auseinander gedröselt hast ;)
Es ist ja Wohldefiniertheit plus Injektivität von [mm] $\widetilde{f}$: $x\sim y\iff [/mm] fx=fy$. Surjektivität folgt aus der Surjektivität von $f$. Und auch die Gleichung [mm] $\widetilde{f}([x])=f(x)$ [/mm] für alle $x$ ist ja nur eine andere Art, [mm] $\widetilde{f}\circ \pi=f$ [/mm] aufzuschreiben.
Aber du hast natürlich Recht, dass es hier keine gewaltige Vereinfachung mit sich bringt, sondern man den Beweisaufwand von vielleicht 5 Zeilen auf 2 verkleinert, oder so ähnlich.
Ich gebe dir außerdem Recht: Elementare Beweise sind besser als Beweise, die viel Maschinerie benutzen. Natürlich ist mein Homomorphiesatz keine große Maschinerie. Der Beweis ist einfach ein einziges mal das übliche Wohldefiniertheits-Argument und mehr nicht.
Wieso finde ich es jetzt gut und sinnvoll, den Homomorphiesatz anzuwenden? Weil er an einem einfachen Beispiel, Mengen, allgemeine Muster aufzeigt, die auch überall sonst in der Mathematik auftachen, nämlich Quotientenobjekte. Und überall sonst gilt: Wenn ich eine Abbildung aus $X/R$ definieren möchte, dann nehme ich mir eine Abbildung aus $X$ und benutze meinen Homomorphiesatz, um sie eindeutig zu einer Abbildung aus $X/R$ fortzusetzen.
Der Sinn daran, den Satz in diesem zugegebenermaßen trivialen Setting zu benutzen, liegt nicht darin, unnötigerweise abstraktere Sprache zu verwenden, sondern Muster zu betonen. Muster zu erkennen ist überhaupt das wichtigste, was man in der Mathematik tun kann, damit man sich im jeweiligen konkreten Fall auf die Schwierigkeiten dort konzentrieren kann und sich nicht mit ![[]](/images/popup.gif) formalem Unsinn herumschlagen muss.
Das braucht dich als studierten Mathematiker natürlich nicht zu bekümmern, aber es gibt Studenten, die rechnen seitenlang mit Elementen durch, dass es eine wohldefinierte, injektive, surjektive Abbildung [mm] $(G/K)/(H/K)\longrightarrow [/mm] G/H$ gibt, welche mit den Gruppenverknüpfungen verträglich ist.
Wenn man früh betont: Der Übergang von $X$ zu [mm] $X/\sim$ [/mm] ist der universelle Weg, um in Relation stehende Elemente gleichzumachen - das heißt jede andere Abbildung, die dasselbe tut, macht einen Umweg über [mm] $X/\sim$, [/mm] dann kommt so etwas (hoffentlich) seltener vor.
Und dann können Lernende Muster erkennen: Der Übergang von $G$ nach $G/H$ ist der universelle Weg, Elemente von $H$ zu töten. Der Übergang von $R$ nach $R/I$ ist der universelle Weg, Elemente aus $I$ zu töten. Der Übergang von $R$ nach $R[x]$ ist der universelle Weg, ein Element zu meinem Ring hinzuzufügen. Der Übergang von $R$ nach [mm] $S^{-1}R$ [/mm] ist der universelle Weg, Elemente aus $S$ invertierbar zu machen.
Ich habe dieses Semester mitbekommen, wie Studenten versucht haben, durch hinschreiben von Abbildungsvorschriften zu zeigen, dass das Spekrum eines Ringes an jedem Halm lokal ist, also ein lokalgeringter Raum. So etwas wie [mm] $\operatorname{colim}_{U\ni\mathfrak{p}}\mathcal{O}(U)=A_ \mathfrak{p}$ [/mm] sollte eigentlich keine Rechnung benötigen, sondern einfach nur klingeln lassen: Aha, auf beiden Seiten wird auf universelle Weise alles invertiert, was nicht in [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] liegt. Dann kann man sich nämlich auf die wirklich komplizierten Dinge der algebraischen Geometrie konzentrieren.
So, jetzt war ich wieder ganz schön schreibwütig^^
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:17 So 04.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal!
Zunächst ein großes Dankeschön für die ausführliche Darstellung deiner Gedanken. Ich finde sie sehr spannend.
> Zunächst einmal hast du ein wenig geschummelt, weil du die
> Dinge, die der Homomorphiesatz auf einmal liefert, wieder
> auseinander gedröselt hast ;)
>
> Es ist ja Wohldefiniertheit plus Injektivität von
> [mm]\widetilde{f}[/mm]: [mm]x\sim y\iff fx=fy[/mm]. Surjektivität folgt aus
> der Surjektivität von [mm]f[/mm]. Und auch die Gleichung
> [mm]\widetilde{f}([x])=f(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] ist ja nur eine andere
> Art, [mm]\widetilde{f}\circ \pi=f[/mm] aufzuschreiben.
>
> Aber du hast natürlich Recht, dass es hier keine gewaltige
> Vereinfachung mit sich bringt, sondern man den
> Beweisaufwand von vielleicht 5 Zeilen auf 2 verkleinert,
> oder so ähnlich.
Die Surjektivität von f zu zeigen (!), ist kaum weniger aufwändig als die Surjektivität von [mm] $\widetilde{f}$.
[/mm]
Die Ökonomie deiner Vorgehensweise liegt eher darin, dass dir ohne Beweis klar ist, dass f surjektiv ist.
Tatsachen wie
(eindeutige) Existenz von [mm] $\widetilde{f}$+Injektivität [/mm] von [mm] $\widetilde{f}$ $\iff$ ($x\sim y\iff [/mm] f(x)=f(y)$) für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$
(Folgerung aus deinem Homomorphiesatz) und
[mm] $\widetilde{f}\circ \pi=f$ \iff [/mm] $f([x])=f(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$
sind dir ohne Beweis klar.
Ich habe nicht den Eindruck, dass dieser (!) Homomorphiesatz wirklich Beweise (!) verkürzt.
Aber er ermöglicht es dir, dir schnell Dinge ohne detaillierten Beweis klarzumachen.
> Wieso finde ich es jetzt gut und sinnvoll, den
> Homomorphiesatz anzuwenden? Weil er an einem einfachen
> Beispiel, Mengen, allgemeine Muster aufzeigt, die auch
> überall sonst in der Mathematik auftachen, nämlich
> Quotientenobjekte. Und überall sonst gilt: Wenn ich eine
> Abbildung aus [mm]X/R[/mm] definieren möchte, dann nehme ich mir
> eine Abbildung aus [mm]X[/mm] und benutze meinen Homomorphiesatz, um
> sie eindeutig zu einer Abbildung aus [mm]X/R[/mm] fortzusetzen.
Z.B. im Falle von Gruppen oder Ringen erspart einem der Homomorphiesatz in der Tat viel Arbeit.
> Das braucht dich als studierten Mathematiker natürlich
> nicht zu bekümmern,
Mich bekümmert auch als studierter Mathematiker viel, was an Mathematik-Lehre nicht gut funktioniert!
> aber es gibt Studenten, die rechnen
> seitenlang mit Elementen durch, dass es eine
> wohldefinierte, injektive, surjektive Abbildung
> [mm](G/K)/(H/K)\longrightarrow G/H[/mm] gibt, welche mit den
> Gruppenverknüpfungen verträglich ist.
Ich gebe dir Recht, dass in diesem Fall Homomorphiesatz-Argumente günstiger sind. Diese Studenten haben den Nutzen des Homomorphiesatzes offenbar noch nicht verstanden. Ziel sollte sein, dieses Verständnis zu vermitteln.
Aber dennoch empfinde ich die Beweise dieser Studenten nicht als "für die Katz". Sie können auch daran einiges lernen, z.B.:
- Wie sieht hier ein Isomorphismus konkret aus?
- Welches Urbild hat ein [mm] $gH\in [/mm] G/H$ unter dem Isomorphismus? (Diese Frage stellt man sich automatisch beim Nachweis der Surjektivität des Isomorphismus.)
- Wie prüfe ich Eigenschaften nach? (ganz allgemein, auch in "Nicht-Homomorphiesatz-Situationen")
> Wenn man früh betont: Der Übergang von [mm]X[/mm] zu [mm]X/\sim[/mm] ist
> der universelle Weg, um in Relation stehende Elemente
> gleichzumachen - das heißt jede andere Abbildung, die
> dasselbe tut, macht einen Umweg über [mm]X/\sim[/mm], dann kommt so
> etwas (hoffentlich) seltener vor.
Hast du bemerkt, dass du zwei verschiedene Sichtweisen auf Homomorphiesätze vermittelst?
a) Hilfsmittel zur Konstruktion von Abbildungen mit Definitionsbereich [mm] $X/\sim$
[/mm]
b) [mm] $X/\sim$ [/mm] als Objekt mit universeller Eigenschaft
Wenn du erreichen willst, dass Studenten den Homomorphiesatz im Sinne von a) verwenden, nützt es wenig, wenn du ihnen ausführlich b) erklärst.
Ich glaube, man kann viel erreichen, indem man a) explizit bei Einführung des ersten (algebraischen) Homomorphiesatzes thematisiert.
Ich finde den Ansatz, zur Vorbereitung der nützlichen algebraischen Homomorphiesätze bereits einen Mengen-Homomorphiesatz einzuführen, spannend, sehe jedoch die Gefahr, dass der Mengen-Homomorphiesatz nicht als Hilfsmittel, sondern als künstliche Erschwernis empfunden wird und damit das Gegenteil vom gewünschten Effekt erzeugt.
Zu b): Zunächst möchte ich formulieren, was ich darunter verstehe:
Sei [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $X$.
Ein Paar $(Y,f)$ mit $Y$ eine Menge und [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ heiße [mm] $\sim$-verträglich, [/mm] falls für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\sim x_2$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] gilt.
Seien $(Y,f)$ und $(Y',f')$ zwei [mm] $\sim$-verträgliche [/mm] Paare. Dann sagen wir, dass $f'$ einen (eindeutigen) Umweg über $f$ mache, wenn eine (eindeutige) Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] Y'$ existiert mit [mm] $f'=g\circ [/mm] f$.
$(Y,f)$ und $(Y',f')$ heißen (eindeutig) isomorph, falls eine (eindeutige) bijektive Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] Y'$ mit [mm] $f'=g\circ [/mm] f$ existiert.
Wir sagen, ein [mm] $\sim$-verträgliches [/mm] Paar $(Y,f)$ sei [mm] $\sim$-universell, [/mm] wenn jedes universelle Paar $(Y',f')$ einen eindeutigen Umweg über $(Y,f)$ macht.
Dann gilt:
Je zwei [mm] $\sim$-universelle [/mm] Paare sind eindeutig isomorph.
Das Paar [mm] $(X/\sim,\pi)$ [/mm] mit [mm] $\pi\colon X\to X/\sim,\;\pi(x)=[x]$ [/mm] ist [mm] $\sim$-universell.
[/mm]
Ich hoffe, die Unterschiedlichkeit der Sichtweisen a) und b) ist deutlich geworden.
b) erscheint mir für das erste Semester als zu abstrakt.
> Und dann können Lernende Muster erkennen: Der Übergang
> von [mm]G[/mm] nach [mm]G/H[/mm] ist der universelle Weg, Elemente von [mm]H[/mm] zu
> töten. Der Übergang von [mm]R[/mm] nach [mm]R/I[/mm] ist der universelle
> Weg, Elemente aus [mm]I[/mm] zu töten. Der Übergang von [mm]R[/mm] nach
> [mm]R[x][/mm] ist der universelle Weg, ein Element zu meinem Ring
> hinzuzufügen. Der Übergang von [mm]R[/mm] nach [mm]S^{-1}R[/mm] ist der
> universelle Weg, Elemente aus [mm]S[/mm] invertierbar zu machen.
>
> Ich habe dieses Semester mitbekommen, wie Studenten
> versucht haben, durch hinschreiben von
> Abbildungsvorschriften zu zeigen, dass das Spekrum eines
> Ringes an jedem Halm lokal ist, also ein lokalgeringter
> Raum. So etwas wie
> [mm]\operatorname{colim}_{U\ni\mathfrak{p}}\mathcal{O}(U)=A_ \mathfrak{p}[/mm]
> sollte eigentlich keine Rechnung benötigen, sondern
> einfach nur klingeln lassen: Aha, auf beiden Seiten wird
> auf universelle Weise alles invertiert, was nicht in
> [mm]\mathfrak{p}[/mm] liegt. Dann kann man sich nämlich auf die
> wirklich komplizierten Dinge der algebraischen Geometrie
> konzentrieren.
Das setzt natürlich voraus, dass b) (was wesentlich über a) hinausgeht) überhaupt gelehrt/gelernt wurde.
Wenn die Aussagen aus b) auch erst noch bewiesen werden müssen, schließe ich nicht aus, dass ein direkterer Weg schneller ist.
Insgesamt glaube ich, dass hier deutlich wird, warum du in der algebraischen Geometrie glücklich werden wirst und ich es nicht wurde: Ich bevorzuge genaue Beweise, während du dir viel anhand grober Ideen effizient klarmachen kannst.
Bei aller Kritik, die ich oben äußere: Ich finde deine Meinung insgesamt sehr bedenkenswert. Danke dafür!
Viele Grüße
Tobias
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> Ich habe nicht den Eindruck, dass dieser (!)
> Homomorphiesatz wirklich Beweise (!) verkürzt.
> Aber er ermöglicht es dir, dir schnell Dinge ohne
> detaillierten Beweis klarzumachen.
Ich gebe dir Recht.
> > Wenn man früh betont: Der Übergang von [mm]X[/mm] zu [mm]X/\sim[/mm] ist
> > der universelle Weg, um in Relation stehende Elemente
> > gleichzumachen - das heißt jede andere Abbildung, die
> > dasselbe tut, macht einen Umweg über [mm]X/\sim[/mm], dann kommt so
> > etwas (hoffentlich) seltener vor.
> Hast du bemerkt, dass du zwei verschiedene Sichtweisen auf
> Homomorphiesätze vermittelst?
> a) Hilfsmittel zur Konstruktion von Abbildungen mit
> Definitionsbereich [mm]X/\sim[/mm]
> b) [mm]X/\sim[/mm] als Objekt mit universeller Eigenschaft
Ja, das ist mir in der Tat aufgefallen. Nun ist es aber ja so, dass die universelle Eigenschaft aus b) tatsächlich einfach nur a) ist. Es handelt sich also eher um
a) Wir können die universelle Eigenschaft benutzen, um Abbildungen, bzw. allgemeiner Morphismen zu konstruieren.
b) Ein Objekt ist durch seine universelle Eigenschaft tatsächlich eindeutig festgelegt.
Und dann ist ein Vorgehen, welches aufzeigt, dass man in allen möglichen Situationen a) verwenden kann, einfach nur Liefern von Plausibilität von b): "Wir benötigen tatsächlich überhaupt nicht mehr als a)".
Tatsächlich wäre b) ja nutzlos, wenn diese Charakterisierung von Objekten keine Anwendungen hätte. Manchmal liest man Sätze (gerade in Anfängerveranstaltungen) wie "Aus einer Menge mit Verknüpfung lässt sich auf eindeutige Weise eine Gruppe rekonstruieren, wenn die Verknüpfung assoziativ ist, ein linksneutrales Element besitzt und jedes Element linksinvertierbar ist." (Oder so ähnlich.) Da wird auch eindeutig festgelegt, was eine Gruppe ist, aber in Anwendungen ist diese Charakterisierung völlig unbrauchbar.
Insofern finde ich, dass die Sichtweise a) eine natürliche Hinführung auf die Sichtweise b) ist. Die Rückrichtung ist natürlich trivial - wenn ich meine Objekte durch universelle Eigenschaften charakterisiere, bleibt mir nichts anderes übrig, als diese auch zu benutzen.
> Zu b): Zunächst möchte ich formulieren, was ich darunter
> verstehe:
>
> Sei [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf einer Menge [mm]X[/mm].
> Ein Paar [mm](Y,f)[/mm] mit [mm]Y[/mm] eine Menge und [mm]f\colon X\to Y[/mm] heiße
> [mm]\sim[/mm]-verträglich, falls für alle [mm]x_1,x_2\in X[/mm] mit [mm]x_1\sim x_2[/mm]
> die Eigenschaft [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] gilt.
> Seien [mm](Y,f)[/mm] und [mm](Y',f')[/mm] zwei [mm]\sim[/mm]-verträgliche Paare.
> Dann sagen wir, dass [mm]f'[/mm] einen (eindeutigen) Umweg über [mm]f[/mm]
> mache, wenn eine (eindeutige) Abbildung [mm]g\colon Y\to Y'[/mm]
> existiert mit [mm]f'=g\circ f[/mm].
> [mm](Y,f)[/mm] und [mm](Y',f')[/mm] heißen
> (eindeutig) isomorph, falls eine (eindeutige) bijektive
> Abbildung [mm]g\colon Y\to Y'[/mm] mit [mm]f'=g\circ f[/mm] existiert.
> Wir sagen, ein [mm]\sim[/mm]-verträgliches Paar [mm](Y,f)[/mm] sei
> [mm]\sim[/mm]-universell, wenn jedes universelle Paar [mm](Y',f')[/mm] einen
> eindeutigen Umweg über [mm](Y,f)[/mm] macht.
>
> Dann gilt:
> Je zwei [mm]\sim[/mm]-universelle Paare sind eindeutig isomorph.
> Das Paar [mm](X/\sim,\pi)[/mm] mit [mm]\pi\colon X\to X/\sim,\;\pi(x)=[x][/mm]
> ist [mm]\sim[/mm]-universell.
>
> Ich hoffe, die Unterschiedlichkeit der Sichtweisen a) und
> b) ist deutlich geworden.
> b) erscheint mir für das erste Semester als zu abstrakt.
Tatsächlich finde ich auch b) nicht so abstrakt, aber man benötigt es ja zuerst einmal gar nicht, um damit zu arbeiten. Im übrigen ist der Beweis, dass ein Pfeil, der auf universelle Weise irgendeinen Effekt hat, bis auf eindeutige Isomorphie festgelegt ist ja auch stets derselbe: Da $Y$ den Effekt hat, und $Y'$ universell mit dem Effekt ist, gibt es einen (mit [mm] $X\to [/mm] Y$ und [mm] $X\to [/mm] Y'$ verträglichen) Pfeil [mm] $Y'\to [/mm] Y$. Per Symmetrie findet man einen Pfeil [mm] $Y\to [/mm] Y'$. Dann ist auch [mm] $Y\to Y'\to [/mm] Y$ mit [mm] $X\to [/mm] Y$ verträglich. Es ist aber auch die Identität verträglich und da $Y$ universell ist, muss [mm] $Y\to Y'\to [/mm] Y$ die Identität sein.
Mit der geeigneten Sprache lässt sich natürlich auch dieses Argument so aufschreiben, dass man es sogar mit absolut reinem Gewissen nicht jedes mal neu aufschreiben muss, aber das muss natürlich nicht in die Anfängervorlesungen - dort genügt es, die Ideen zu vermitteln, die man später noch braucht.
Das ist meiner Ansicht nach überhaupt der Sinn und der Zweck der Anfängervorlesungen. Objektiv betrachtet ist Lineare Algebra und Analysis 1 mehr oder weniger trivial (das heißt nicht, dass ich nicht auch Probleme damit gehabt hätte, oder auch gelegentlich noch habe). Aber man lehrt diese Spezialfälle späterer und allgemeinerer Theorien, um die Studenten mit immer wiederkehrenden Denkmustern vertraut zu machen. Das mag in der Analysis gelingen (dort weiß ich nicht, wie es später weitergeht), auf der algebraischen Seite macht man es meiner Meinung nach zu wenig, zu inkonsequent, oder auch zusehr im vorletzten Jahrhundert stehengeblieben.
Früher war es sicherlich so, dass Algebra, oder auch Topologie, zu großen Teilen aus Rechnungen mit Elementen bestanden hat. Aber mit Emmy Noether und spätestens mit dem Entstehen der homologischen Algebra, der algebraischen Topologie, der Kategorientheorie und dem neuen Aufbau der algebraischen Geometrie dürfte sich das geändert haben. Ich finde, mit einer Verzögerung von um die 100 Jahre dürfte sich das langsam in der Lehre niederschlagen.
> Insgesamt glaube ich, dass hier deutlich wird, warum du in
> der algebraischen Geometrie glücklich werden wirst und ich
> es nicht wurde: Ich bevorzuge genaue Beweise, während du
> dir viel anhand grober Ideen effizient klarmachen kannst.
Das mag sein, dass da ein Unterschied in unseren Denkweisen besteht. Trotzdem muss ich natürlich noch ergänzen, dass sich diese grobe Idee "welchen universellen Effekt besitzt der Übergang von einem Objekt zu einem anderen" und gerade das rechnen mit Effekten anstelle von Objekten präzise gemacht werden kann. Dazu stellt man fest, dass eine universelle Eigenschaft im Wesentlichen dasselbe besagt, wie die Darstellbarkeit eines geeigneten Funktors ist, und dass das Yoneda-Lemma liefert, dass ein darstellendes Objekt durch den dargestellten Funktor bereits eindeutig bestimmt ist. Dann beweist man [mm] $(G/K)/(H/K)\cong [/mm] G/K$, indem man [mm] $\hom((G/K)/(H/K),-)\cong \hom(G/K,-)$ [/mm] zeigt - was dan genau der Vergleich der universellen Eigenschaften ist: [mm] $\hom((G/K)/(H/K),T)\cong\{f\in\hom(G/K,T)\mid H/K\text{ wird getötet}\}\cong\{f\in\hom(G,T)\mid K\text{ und }H\text{ werden getötet}\}=\{f\in\hom(G,T)\mid H\text{ wird getötet }\}\cong\hom(G/H,T)$. [/mm] Dies ist einfach nur eine Formalisierung der Idee: "Zuerst $K$ töten und dann töten, was von $H$ übrig bleibt, ist dasselbe, wie $H$ direkt zu töten." Je komplizierter die Objekte, desto mehr lohnt es sich, mit Eigenschaften zu rechnen, und nicht mit Objekten.
> Bei aller Kritik, die ich oben äußere: Ich finde deine
> Meinung insgesamt sehr bedenkenswert. Danke dafür!
Auch ich bedanke mich für deine Sichtweisen zu dem Thema (das mich sehr beschäftigt).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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