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| Aufgabe | Sei n eine ganze Zahl, die von -1,0,1 verschieden sei. Dann hat die Untergruppe G von [mm] GL_{2}(\IQ) [/mm] , die von den folgenden beiden Matrizen erzeugt wird
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & n } [/mm] , B = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1},
[/mm]
folgende Präsenation: < a, b | [mm] a^{-1}ba [/mm] = [mm] b^{n}> [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen!
Die Aufgabe war zwar mit Lösung angegeben, aber die LSG ist sehr verkürzt und ich habe versucht, die fehlenden Schritte selbst nachzuvollziehen. Leider ist mir das nicht ganz gelungen und ich habe einige Fragen. Ich poste einmal die LSG hier und frage dann bei den Punkten, die mir nicht klar sind.
Also, Lösung: Der Wert des Wortes [mm] a^{k_{1}}b^{l_{1}}...a^{k_{s}}b^{l_{s}} [/mm] auf (unter ?) den Matrizhen A,B ist nach Definition das Bild des Wortes in G unter der Abbildung a [mm] \mapsto [/mm] A, b [mm] \mapsto [/mm] B. Wir werden das Alphabet {A,B} [mm] ^{\pm} [/mm] benutzen, wenn wir Beziehungen (Relationen) in G betrachten.
Zuerst halten wir fest, dass die Relation [mm] A^{-1}BA [/mm] = [mm] B^{n} [/mm] gilt. Zweitens werden wir beweisen, dass jede Relation zwischen den Matrizen A und B von dieser Relation abgeleitet werden kann.
Sei w = [mm] a^{k_{1}}b^{l_{1}}...a^{k_{s}}b^{l_{s}} [/mm] ein beliebiges Wort mit der Eigenschaft, dass sein Wert auf den Matrizen A und B äquivalent zur Einheitsmatrix E ist. Wir schreiben dieses Wort um zu
[mm] (a^{p_{1}}b^{l_{1}}a^{-p_{1)}}) *(a^{p_{2}}b^{l_{2}}a^{-p_{2)}})..... *(a^{p_{s}}b^{l_{s}}a^{-p_{s)}}) a^{p_{s}}, [/mm] wobei [mm] p_{i} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] + ...+ [mm] k_{i}.
[/mm]
Bemerke, dass für k > l die Relation [mm] a^{-k}ba^{k} [/mm] = [mm] (a^{-l}ba^{l})^{n} [/mm] hoch (k-l) [der wollte das nicht nochmal potenzieren, aber n wird nochmal mit (k-l) potenziert]. eine Konsequenz der Relation [mm] a^{-1}ba [/mm] = [mm] b^{n} [/mm] ist. Indem wir das benutzen, können wir das Wort w umformen zu einem Wort [mm] w_{1} [/mm] der Form [mm] w_{1} [/mm] : [mm] a^{-l}b^{t}a^{l} [/mm] * [mm] a^{p_{s}}. [/mm] Der Wert des Wortes [mm] w_{1} [/mm] ist auf den Matrizen A und B ebenfalls äquivalent zu E. Einfache Matrizenberechnungen zeigen, dass t = [mm] p_{s} [/mm] = 0, daraus folgt [mm] w_{1} [/mm] = 1.
Soweit, so gut... Also, meine Fragen:
Wenn ich das Wort w zu [mm] w_{1} [/mm] umformen will, hab ich substituiert und bekomme zwar [mm] w_{1} [/mm] wie angegeben hin, allerdings mit einem t = [mm] \summe_{i=1}^{s} l_{i}n^{(-p_{i}-l)}.
[/mm]
Irgendwie kommt mir das merkwürdig vor und falls das doch stimmen sollte, dann ist mir nicht klar, wie ich aufgrund von "einfachen Matrixbere." darauf komme, dass t und ebenfalls [mm] p_{s} [/mm] = 0 sein müssen.. An sich ist mir
auch schon nicht klar, wieso ich das noch zeigen muss, denn bei dem Wort w war ja vorausgesetzt, dass es auf den Matrien A und B den Wert 1 hat, da [mm] w_{1} [/mm] nur umgeformt wurde, muss es doch den Wert 1 haben (unter den Matrizen). Außerdem sieht man ja schon aus der Darstellung des Wortes, dass die Faktoren [mm] b^{t} [/mm] und [mm] a^{p_{s}} [/mm] gleich 1 sein müssen, damit da nur noch [mm] a^{-l}a^{l} [/mm] steht, was ja dann das neutrale Element bezeichnet.
Oder hab ich da irgendwas noch gar nicht verstanden? Inwieweit muss ich überhaupt mit den Matrizen rechnen?
Vielen lieben Dank schonmal!
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Well, habe jetzt selbst noch ein wenig mit den Matrizen rumgerechnet und gesehen, dass [mm] p_{s} [/mm] = t = 0 sein muss, damit eben die Matrix die Einheitsmatrix ergibt. Okay, also kann ich aber wirklich voraussetzen, dass [mm] w_{1} [/mm] eben auch den Wert der Einheitsmatrix ergeben muss? Denn wenn [mm] p_{s} [/mm] oder auch t ungleich Null sind, kommt es natürlich nicht mehr hin...
Und noch eine grundsätzliche Frage zum Vorgehen: Wenn ich nicht den Beweis nicht vorliegen hätte, woher wüsste ich, dass ich das Wort w zu [mm] w_{1} [/mm] umforme ? Und wenn ich es anders umforme, müsste das Wort ja trotzdem immer den Wert 1 behalten oder? Bzw. es ist ja eigentlich beliebig umgeformt, also gibt es vermutlich nur dazu äquivalente Umformungen, right?
Hm.... Bin mir bei diesen ganzen Präsentations - und Erzeugersachen nicht so sicher und leicht verwirrt....
Wenn da jemand nochmal allgemein Klarheit bringen könnte, wäre ich sehr dankbar!
Lg, Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 22.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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