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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Do 10.11.2011 | | Autor: | core_1 |
| Aufgabe | Ich habe eine Permutation die wie folgt gebildet wird:
Die 1 bildet einen einzigen Zyklus 1->1,
Die 2 setzt sich mit der Wahrscheinlichkeit von 1/2 neben die 1 dh. (1->2->1) und mit der Wahrscheinlichkeit ½ bildet Sie ihren eigen Zyklus also (1->1, 2->2)
Und n setzt sich neben eines der (n-1) Elemente (dadurch wird einer der schon Vorhanden Zyklen verlängert) oder setzt sich alleine (dadurch entsteht der Zyklus n->n), wobei jeder diese n Ausgänge gleich Wahrscheinlich ist.
Frage: Ist die Permutation von 1…n zufällig? Begründe
B) Wahrscheinlichkeit das 2 und 5 zum selben Zyklus gehören? |
Bei der eins habe ich mir erstmal so einen Baum gemalt:
[IMG]http://i43.tinypic.com/huprf4.png[/IMG]
Ich habe den Tipp bekommen das mit Induktion zu beweisen. Leider schaff ich es nicht mal einen Induktionsanfang :D herzuleiten.
Wäre cool - wenn ich da einen Ansatz hätte.
Bei der B)
Habe ich mir überlegt das mit Bedingter Wahrscheinlichkeit zu machen.
Also P(X [mm] _{1}\in [/mm] A) = [mm] \summe_{a \in S}^{} P(x_{1}/in [/mm] A | [mm] x_{2} [/mm] =a)
= [mm] \summe_{a \in S}^{} P(x_{1}/in [/mm] A | [mm] x_{2} [/mm] =a) * [mm] P(x_{2} [/mm] = a)
Das die 2 einen Zyklus ist [mm] \bruch{1}{n}und [/mm] das darauf die 5 folgt ist doch
[mm] \bruch{1}{n}* \bruch{1}{n-1}
[/mm]
und jetzt nochmal mit [mm] x_{2} [/mm] also [mm] \bruch{1}{n}* \bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{n-1}
[/mm]
Da bin ich mir ziemlich unsicher, wäre cool wenn sich das mal einer anschauen könnte - der etwas mehr Durchblick hat in der Welt der Wahrscheinlichkeiten.
Danke und Gruß
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Moin,
> Ich habe eine Permutation die wie folgt gebildet wird:
>
> Die 1 bildet einen einzigen Zyklus 1->1,
> Die 2 setzt sich mit der Wahrscheinlichkeit von 1/2 neben
> die 1 dh. (1->2->1) und mit der Wahrscheinlichkeit ½
> bildet Sie ihren eigen Zyklus also (1->1, 2->2)
> Und n setzt sich neben eines der (n-1) Elemente (dadurch
> wird einer der schon Vorhanden Zyklen verlängert) oder
> setzt sich alleine (dadurch entsteht der Zyklus n->n),
> wobei jeder diese n Ausgänge gleich Wahrscheinlich ist.
> Frage: Ist die Permutation von 1…n zufällig? Begründe
> B) Wahrscheinlichkeit das 2 und 5 zum selben Zyklus
> gehören?
>
>
> Bei der eins habe ich mir erstmal so einen Baum gemalt:
>
> [IMG]http://i43.tinypic.com/huprf4.png[/IMG]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe den Tipp bekommen das mit Induktion zu beweisen.
> Leider schaff ich es nicht mal einen Induktionsanfang :D herzuleiten.
Den hast du in deinem Baum schon gemalt. Jetzt musst du es nur noch hinschreiben.
Induktionsschritt:
Es wird das n. Element eingefügt. Zuvor sind n-1 Elemente eingefügt und alle Permutationen treten mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{(n-1)!} [/mm] auf (Induktionsvoraussetzung).
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Permutation [mm] \sigma [/mm] aus n Elementen berechnen. Zeige, dass [mm] \sigma [/mm] durch "rechtseitiges Einfügen" aus genau einer n-1 elementigen Permutation erzeugt werden kann.
LG
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Moin,
> WSK 2 und 5 in einem Zyklus.
Es seien die Ereignisse [mm] A_i=$\{$ "2 ist im Zyklus der Länge i" $\}$, i=1,\ldots,n [/mm] gegeben.
Ereignis [mm] F=$\{$ 5 ist im selben Zyklus wie die 2$\}$.
[/mm]
Dann folgt mit der totalen Wahrscheinlichkeit
[mm] P(F)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(F|A_i).
[/mm]
Die dabei auftretenen Wahrscheinlichkeiten sollten sich leicht berechnen lassen, aber ich habe es gerade nicht gerechnet.
LG
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