Prim/Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 02.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IZ, [/mm] p>1. Dann sind äquivalent:
1) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] p/(ab) => p/a oder p/b
2) p ist eine Primzahl |
Mir fehlt eine Richtung:
Wenn 1 gilt folgt 2.
Die andere hab ich:
2=>1
In dem Fall das p/a sind wir fertig
Angenommen p teilt a nicht => ggT(p,a)=1 => p teilt b
Hier hab ich zwei Lemma´s von der vorlesung verwendeT ( die wir auch indieser bewiesen haben)
.)Sei p eine Primzahl: p teilt nicht a => ggT(p,a)=1
.)Wenn [mm] m/(n_1 n_2) [/mm] und [mm] ggT(m,n_1 [/mm] )=1 dann [mm] m/(n_2)
[/mm]
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Hallo,
ich glaube, für 1=>2 benötigt man noch nicht einmal den ggT. Es gilt die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, daraus folgt die Hinrichtung doch sofort.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 02.04.2012 | | Autor: | sissile |
-) Die Primfaktorzerlegung haben wir als solche erst danach gerlernt, geht das also auch ohne dieser?
-) Wahrscheinlich dumme frage, aber ich seh nicht ganz warum das MIT Primfaktorzerlegung sofort folgt.
Es sei n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2. Dann lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
1=>2
Vorraussetung: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] p/(ab) => p/a oder p/b
ab= p *k,
=> a=p*l [mm] \vee [/mm] b=p*u
l,p,k [mm] \in \IZ
[/mm]
LG
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Hallo sissile,
ich kann das ehrlich gesagt gar nicht nachvollziehen, was du da formal anstellst. Man sollte bei solchen Beweisen immer zuerst eine gedankliche Vorstellung haben, wie das abläuft, und erst dann versuchen, seine Gedanken zu formalisieren.
Das könnte hier so aussehen: ist p eine Primzahl, so ist sie sicherlich in der Primfaktorzerlegung von ab enthalten. Auf der anderen Seite ist ab das Produkt von a und b, somit muss p als Primfaktor in einer dieser beiden Zahlen auch enthalten sein (sonst wäre p nicht prim!). Daraus folgt wie schon gesagt die Hinrichtung deiner Äquivalenz unmittelbar.
Das ganze formal aufzuschreiben, überlasse ich nun dir und verabschiede mich zum Mittagessen. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 02.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei p [mm]\in \IZ,[/mm] p>1. Dann sind äquivalent:
> 1) [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] p/(ab) => p/a oder p/b
> 2) p ist eine Primzahl
> Mir fehlt eine Richtung:
> Wenn 1 gilt folgt 2.
wie habt ihr denn Primzahl definiert?
LG Felix
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