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| Aufgabe | a) Die Gruppe [mm] G:=\IZ_{13}^{\*} [/mm] ist zyklisch. Wieviele Erzeuger hat G?
b) Listen Sie die Elemente der Untergruppe U von G mit |U|=3 auf
c) Sei n die Anzahl von Nebenklassen von U in G und [mm] \varphi:G \rightarrow S_{n}, [/mm] g [mm] \longmapsto \sigma_{g} [/mm] der Gruppenhomomorphismus mit [mm] \sigma_{g}(Uh)=Uhg [/mm] für g,h [mm] \in [/mm] G. Geben Sie die Permutation [mm] \sigma_{g} [/mm] für g=7 [mm] \in \IZ_{13}^{\*} [/mm] an. |
Hallo,
habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin mir aber etwas unsicher..
zu a)
Die Anzahl der Erzeuger von G = [mm] \varphi(13) [/mm] = 12 (Eulersche Phi-Funktion)
Ein Erzeuger wäre z.B. die 2
zu b)
U [mm] \in \{1,3,7\}
[/mm]
zu c)
Gem. Lagrange besitzt U in G [G:U]=4 Nebenklassen
U=U1, U2, U3, U4
[mm] \sigma_{7}(U1)=U(1*7)=U3
[/mm]
[mm] \sigma_{7}(U2)=U(2*7)=U2
[/mm]
[mm] \sigma_{7}(U3)=U(3*7)=U1=U
[/mm]
[mm] \sigma_{7}(U4)=U(4*7)=U4
[/mm]
Also (1,3)(2)(4)
Wäre das so ok?
LG 
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Hallo derriemann,
Du hast da einen Widerspruch zwischen Deinen Lösungen für a und b.
> a) Die Gruppe [mm]G:=\IZ_{13}^{\*}[/mm] ist zyklisch. Wieviele
> Erzeuger hat G?
>
> b) Listen Sie die Elemente der Untergruppe U von G mit
> |U|=3 auf
>
> c) Sei n die Anzahl von Nebenklassen von U in G und
> [mm]\varphi:G \rightarrow S_{n},[/mm] g [mm]\longmapsto \sigma_{g}[/mm] der
> Gruppenhomomorphismus mit [mm]\sigma_{g}(Uh)=Uhg[/mm] für g,h [mm]\in[/mm]
> G. Geben Sie die Permutation [mm]\sigma_{g}[/mm] für g=7 [mm]\in \IZ_{13}^{\*}[/mm]
> an.
> Hallo,
>
> habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin mir aber etwas
> unsicher..
>
> zu a)
> Die Anzahl der Erzeuger von G = [mm]\varphi(13)[/mm] = 12 (Eulersche
> Phi-Funktion)
> Ein Erzeuger wäre z.B. die 2
Nein, schau nochmal die Definition eines Erzeugers nach. Die 2 ist zwar einer, aber es gibt keineswegs 12 davon. Sonst gäbe es keine Untergruppen wie die in b) gesuchte!
> zu b)
> U [mm]\in \{1,3,7\}[/mm]
Ich hoffe, das ist ein Tippfehler.
Richtig ist [mm] U=\{1,3,9\}.
[/mm]
Das Elementzeichen hat da nichts zu suchen.
Es gibt aber noch weitere Untergruppen; ich bezeichne sie mal nach der Zahl ihrer Elemente:
[mm] U_1=\{1\}
[/mm]
[mm] U_2=\{1,12\}
[/mm]
[mm] U_3=\{1,3,9\}
[/mm]
[mm] U_4=\{1,5,8,12\}
[/mm]
[mm] U_6=\{1,3,4,9,10,12\}
[/mm]
Erzeuger können nun nur die Restklassen sein, die in keiner dieser echten Untergruppen enthalten sind, also nur noch die 2,6,7 und 11.
Grüße
reverend
> zu c)
> Gem. Lagrange besitzt U in G [G:U]=4 Nebenklassen
> U=U1, U2, U3, U4
> [mm]\sigma_{7}(U1)=U(1*7)=U3[/mm]
> [mm]\sigma_{7}(U2)=U(2*7)=U2[/mm]
> [mm]\sigma_{7}(U3)=U(3*7)=U1=U[/mm]
> [mm]\sigma_{7}(U4)=U(4*7)=U4[/mm]
>
> Also (1,3)(2)(4)
>
> Wäre das so ok?
>
> LG
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Hi, danke für die Antwort.
Stimmt, habe mich vertippt mit der Untergruppe U^^
Achso, stimmt, der Widerspruch war mir anfangs gar nicht aufgefallen. Ich dachte a [mm] \in \IZ_{n} [/mm] ist Erzeuger von [mm] \IZ_{n}, [/mm] wenn gilt ggT(a,n)=1?
LG
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Hallo nochmal,
hm, vielleicht bin ich ja auch gerade auf dem falschen Pferd.
Du hattest ja klar geschrieben: "prime Restklassengruppen".
> Hi, danke für die Antwort.
>
> Stimmt, habe mich vertippt mit der Untergruppe U^^
>
> Achso, stimmt, der Widerspruch war mir anfangs gar nicht
> aufgefallen. Ich dachte a [mm]\in \IZ_{n}[/mm] ist Erzeuger von
> [mm]\IZ_{n},[/mm] wenn gilt ggT(a,n)=1?
Ich habs jetzt auch nochmal nachgesehen. Das gilt natürlich bezüglich der Addition, und genauso werden Erzeuger in primen Restklassengruppen normalerweise definiert. Dann hast du also Recht.
Ich bin selber gerade eher mit multiplikativen zyklischen Gruppen zugange, da ist ein Element nur dann Erzeuger, wenn die Ordnung des Elements (bzgl. der Multiplikation mit sich selbst) gerade der Gruppengröße entspricht.
Die Verwirrung wird dadurch komplett, dass die einfachsten zyklischen Gruppen eben gerade die primen Restklassengruppen sind.
Schau nochmal in Dein Skript bzw. Deine Mitschrift. Ich gehe davon aus, dass Ihr die additive Definition habt und Deine erste Antwort daher richtig ist.
Grüße
reverend
PS: Den Betreff meiner ersten Antwort ändere ich mal so, dass klarer ist, dass c) noch offen ist.
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Ich gehe davon aus, dass deine erste Antwort, reverend, richtig ist. Die Lösung zur a) ist meiner Meinung nach [mm] $\varphi (\varphi [/mm] (13))=4$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Also wir haben die prime Restklassengruppe bzgl. der Multiplikation definiert..
Wie kommst du denn auf [mm] \varphi(\varphi(13))? [/mm]
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Naja die Ordnung der Einheitengruppe ist [mm] $\varphi [/mm] (13) $. Sie ist isomorph zu [mm] $\IZ/\varphi (13)\IZ [/mm] $. Und Erzeuger hiervon sind alle zu [mm] $\varphi [/mm] (13) $ teilerfremden Zahlen [mm] $\mod \varphi [/mm] (13) $. Davon gibt es [mm] $\varphi (\varphi [/mm] (13)) $ Stück.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Bei der c) bestimme erstmal die Nebenklassen von $ [mm] U=\langle 3\rangle [/mm] $. Du hast richtig gesagt, dass du vier Stück finden musst. Bedenke, dass es sich um Nebenklassen bezüglich Multiplikation handelt. Ihre disjunkte Vereinigung muss die ganze Einheitengruppe von [mm] $\IZ/13\IZ [/mm] $ ergeben. Wenn du das hast, kümmern wir uns um die Permutationsdarstellung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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