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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe hier eine Satz, dessen Beweis ich versuche nachzuvollziehen.
Bei (i) habe ich leider Verständnisprobleme , den Rest kann ich nachvollziehen. Ich hofffe, dass mir jemand den Beweisteil zu (i) erklären kann.
Satz .
Sei R Integritätsring, [m] p [mm] \in [/mm] R [/mm] eine von 0 verschiedene Nichteinheit.
(i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein Primelement.
(ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.
Beweis :
(i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein Primideal, und somit folgt dass p ein Primelement ist
( die rote markierte Folgerung kann ich nicht vertstehen :-( )
Daraus folgt die Bahauptung !
Zum Beweisteil (ii) hab ich keine Fragen.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mo 13.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Satz .
>
> Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene Nichteinheit.
> (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein Primelement.
> (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.
>
> Beweis :
>
> (i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein Primideal, und somit folgt dass p ein Primelement ist
>
> ( die rot markierte Folgerung kann ich nicht vertstehen :-( )
Naja, je nach Definitions- und Wissenslage: Wenn ab durch p geteilt wird, liegt es in (p), also gilt im Restklassenring ab [mm] \equiv [/mm] 0 mod(p). Also gilt z. B. a [mm] \equiv [/mm] 0 mod(p), da Integritätsring, also a Vielfaches von p oder p teilt a.
> Zum Beweisteil (ii) hab ich keine Fragen.
Dassjaschön.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Dieter!
Vielen Dank für die Mühe!
Um noch einmal zu sehen, ob ich das wrklich verstanden habe, fasse ich nochmal zusammen:
> > Satz .
> >
> > Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene
> Nichteinheit.
> > (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein
> Primelement.
> > (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.
> >
> > Beweis :
(i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein Primideal.
Da (p) ein Primideal ist, gilt nach Definition, dass für [mm] a,b \in R [/mm] mit [mm] ab \in \mathfrak {p} [/mm] stets [mm] a \in \mathfrak {p} [/mm] oder [mm] b \in \mathfrak {p} [/mm] folgt.
Somit ist also z.B a [mm]\equiv[/mm] 0 mod(p), und da wir hier einen Integritätsring haben, also Nullteilerfrei muss a Vielfaches von p sein und somit p teilt a.
( Das ganze ginge auch mit b )
Sehe ich das nun richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 13.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Um noch einmal zu sehen, ob ich das wrklich verstanden
> habe, fasse ich nochmal zusammen:
>
> > > Satz .
> > >
> > > Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene
> > Nichteinheit.
> > > (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein
> > Primelement.
> > > (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p
> irreduzibel.
> > >
> > > Beweis :
>
>
>
> (i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein
> Primideal.
> Da (p) ein Primideal ist, gilt nach Definition, dass für
> [mm]a,b \in R[/mm] mit [mm]ab \in \mathfrak {p}[/mm] stets [mm]a \in \mathfrak {p}[/mm]
> oder [mm]b \in \mathfrak {p}[/mm] folgt.
Mit dieser Definition von Primideal ist es noch einfacher! b [mm] \in [/mm] (p) bedeutet doch genau p teilt b.
> Somit ist also z.B a [mm]\equiv[/mm] 0 mod(p), und da wir hier
> einen Integritätsring haben, also Nullteilerfrei muss a
> Vielfaches von p sein und somit p teilt a.
> ( Das ganze ginge auch mit b )
>
> Sehe ich das nun richtig?
Ich hoffe doch.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen vielen Dank!
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