Primfaktorzerlegung von n! < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 So 02.05.2010 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | a) Sei n [mm] \in \IN [/mm] und p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass in der Primfaktorzerlegung von n! der Exponent von p gegeben wird durch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] [/mm] .
b) Auf wieviel Nullen endet die Dezimaldarstellung von 1997! ?
c) Welches ist die größte Potenz von 7, die [mm] \vektor{81\\34} [/mm] teilt?
d) Auf wieviele Nullen endet die Dezimaldarstellung von [mm] \vektor{2003\\23} [/mm] ? |
Hallo!
Ich versuch mich gerade an dieser Aufgabe. Aufgabenteil b)-d) hab ich schon mithilfe von Aufgabenteil a) gelöst, jedoch hab ich Probleme Aufgabenteil a) zu beweisen.
Ich habe mir bis jetzt überlegt, dass gilt:
p>n : [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] [/mm] =0
p=n : [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] [/mm] =1
n>p> [mm] \bruch{n}{2} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] [/mm] =1 , falls n>2 , für n=2 gibt es keine Primzahl kleiner 2!
p [mm] \le \bruch{n}{2} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] \ge [/mm] 2
Weiß nicht, wie ich hier anfangen oder weitermachen soll, dieses zu beweisen. Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße Julsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 02.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Julsch!
> a) Sei n [mm]\in \IN[/mm] und p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass in
> der Primfaktorzerlegung von n! der Exponent von p gegeben
> wird durch [mm]\summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}][/mm] .
> b) Auf wieviel Nullen endet die Dezimaldarstellung von
> 1997! ?
> c) Welches ist die größte Potenz von 7, die
> [mm]\vektor{81\\34}[/mm] teilt?
> d) Auf wieviele Nullen endet die Dezimaldarstellung von
> [mm]\vektor{2003\\23}[/mm] ?
>
> Hallo!
> Ich versuch mich gerade an dieser Aufgabe. Aufgabenteil
> b)-d) hab ich schon mithilfe von Aufgabenteil a) gelöst,
> jedoch hab ich Probleme Aufgabenteil a) zu beweisen.
> Ich habe mir bis jetzt überlegt, dass gilt:
> p>n : [mm]\summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}][/mm] =0
> p=n : [mm]\summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}][/mm] =1
> n>p> [mm]\bruch{n}{2}[/mm] : [mm]\summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}][/mm]
> =1 , falls n>2 , für n=2 gibt es keine Primzahl kleiner
> 2!
> p [mm]\le \bruch{n}{2}[/mm] : [mm]\summe_{i=1}^{\infty} [\bruch{n}{p^{i}}] \ge[/mm]
> 2
>
> Weiß nicht, wie ich hier anfangen oder weitermachen soll,
> dieses zu beweisen. Kann mir jemand weiterhelfen?
Versuch es doch mal so. Sei [mm] $\nu_p(x) [/mm] = [mm] \max\{ n \in \IN \mid p^n \text{ teilt } x \}$. [/mm] Dann ist ja nach [mm] $\nu_p(n!)$ [/mm] gefragt (ueberleg dir das mal genau). Weiterhin gilt [mm] $\nu_p(n!) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \nu_p(i)$ [/mm] (warum?).
Jetzt schreib doch mal [mm] $\sum_{i=1}^n \nu_p(i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{\nu_p(i)} [/mm] 1 = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1 \atop p^j \mid i}^\infty [/mm] 1 = [mm] \sum_{1 \le i \le n, 1 \le j \le \infty \atop p^j \mid i} [/mm] 1 = [mm] \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1 \atop p^j \mid i}^n [/mm] 1$.
So. Und jetzt versuch mal, [mm] $\sum_{i=1 \atop p^j \mid i}^n [/mm] 1$ zu bestimmen :)
LG Felix
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