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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass gilt:
R ist ein Körper [mm] \gdw [/mm] Jedes Hauptideal von R ein Primideal ist |
Hallo ich habe eine kleine Frage zum Beweis obiger Aufgabe:
Die "Hinrichtung" habe ich gelöst, also [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Bei der Rückrichtung:
[mm] "\Leftarrow" [/mm]
Sei also jedes Hauptideal von R ein Primideal.
Wie zeige ich, dass es zu jedem Element ein Inverses Element geben muss?
Danke
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das Problem des neutralen elements ist nun gelöst und zwar folgt die Eindeutigkeit daraus, dass (0) auch Primideal nach vor. ist
Nur wie sieht es mit dem multiplikativem inversen aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Etwas merkwürdig an der Aufgabe finde ich, dass offenbar der ganze Ring R als Primideal zählt! Sonst wäre die rechte Seite der Äquivalenz nie erfüllt. Ich kenne nur eine Definition des Begriffs Primideal, die den ganzen Ring explizit ausschließt. Hattet ihr eine andere?
Wenn man nun den ganzen Ring als Primideal unterstellt, wird die rechte Seite vom Nullring erfüllt. Dieser ist jedoch kein Körper!
Sei also zusätzlich unterstellt, dass $R$ nicht der Nullring ist. Dann ist in der Tat nur die Sache mit den multiplikativ Inversen zu zeigen.
Sei also [mm] $a\in R\setminus\{0\}$ [/mm] vorgegeben. Betrachte nun das Hauptideal [mm] $(a^2)$.
[/mm]
Weiterhin brauchst du, dass du in $R$ kürzen darfst. Dazu solltest du das Nullideal betrachten.
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Hallo,
und vielen Dank für deine Hilfe. Die Aufgabe konnte ich nun mit deinen Tipps lösen.
Ich habe nachgeschaut und gesehen, dass wir Primideal so Definiert haben:
Ein Ideal P heißt Primideal wenn : x*y [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] P oder y [mm] \in [/mm] P
Warum sollte hier der ganze Ring ausgeschlossen sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> und vielen Dank für deine Hilfe. Die Aufgabe konnte ich
> nun mit deinen Tipps lösen.
Super!
> Ich habe nachgeschaut und gesehen, dass wir Primideal so
> Definiert haben:
>
> Ein Ideal P heißt Primideal wenn : x*y [mm]\in[/mm] P [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] P oder y [mm]\in[/mm] P
>
> Warum sollte hier der ganze Ring ausgeschlossen sein?
Bei eurer Definition ist der ganze Ring in der Tat stets ein Primideal. Damit passt die Aufgabenstellung (bis auf den fehlenden Ausschluss des Nullrings) zu eurer Definition.
Ich kenne nur folgende Definition eines Primideals: Ein Ideal [mm] $P\subsetneq [/mm] R$ eines Ringes $R$ heißt Primideal, wenn für alle [mm] $x,y\in [/mm] R$ mit [mm] $xy\in [/mm] P$ schon [mm] $x\in [/mm] P$ oder [mm] $y\in [/mm] P$ gilt.
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