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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 28.10.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei R = [mm] \IZ[\wurzel{-5}].
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Ideale [mm] (2,1+\wurzel{-5}) [/mm] und [mm] (2,1-\wurzel{-5}) [/mm] in R Primideale sind.
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Es gilt ja folgendes Lemma:
Sei R'=R \ {0} \ U(R), dann
p [mm] \in [/mm] R' Primelement [mm] \gdw [/mm] (p) [mm] \subset [/mm] R Primideal.
z.B. sind 2 und [mm] 1+\wurzel{5} [/mm] keine Primelemente in R.
Also wären (2) und [mm] (1+\wurzel{5}) [/mm] keine Primideale in R.
Doch bei dieser Aufgabe geht es ja um "doppelte" Ideale, nämlich [mm] (2,1+\wurzel{-5}) [/mm] . Kann ich hier das Lemma auch irgendwie anwenden, oder muss ich ganz anders vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 29.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei R = [mm]\IZ[\wurzel{-5}].[/mm]
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> Zeigen Sie, dass die Ideale [mm](2,1+\wurzel{-5})[/mm] und
> [mm](2,1-\wurzel{-5})[/mm] in R Primideale sind.
>
> Es gilt ja folgendes Lemma:
>
> Sei R'=R \ {0} \ U(R), dann
> p [mm]\in[/mm] R' Primelement [mm]\gdw[/mm] (p) [mm]\subset[/mm] R Primideal.
>
> z.B. sind 2 und [mm]1+\wurzel{5}[/mm] keine Primelemente in R.
> Also wären (2) und [mm](1+\wurzel{5})[/mm] keine Primideale in R.
>
> Doch bei dieser Aufgabe geht es ja um "doppelte" Ideale,
> nämlich [mm](2,1+\wurzel{-5})[/mm] . Kann ich hier das Lemma auch
> irgendwie anwenden, oder muss ich ganz anders vorgehen?
Du musst anders vorgehen, das Lemma hilft dir hier nicht.
Untersuche doch mal den Quotient [mm] $\IZ[\sqrt{-5}] [/mm] / (2, 1 + [mm] \sqrt{-5})$. [/mm] Dieser muss ein Integritaetsring sein (und somit ein endlicher Koerper, da endliche Int'ringe bereits Koerper sind), damit $(2, 1 + [mm] \sqrt{-5})$ [/mm] ein Primideal ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 02.11.2008 | | Autor: | jokerose |
ok, ich habs mal mit dem Quotienten versucht.
Folgende Isomorphismen gelten ja:
[mm] R/(2,1+\wurzel{-5}) \cong (\IZ[x]/(x^2+5))/(2,1+x) \cong (\IZ/2[x])/(1+x)
[/mm]
die erste Relation folgt aus dem Entsprechungssatz.
Doch bringt mir dies nun weiter? Wie kann ich nun folgern, dass [mm] R/(2,1+\wurzel{-5}) [/mm] ein Integritätsring ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 02.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ok, ich habs mal mit dem Quotienten versucht.
>
> Folgende Isomorphismen gelten ja:
>
> [mm]R/(2,1+\wurzel{-5}) \cong (\IZ[x]/(x^2+5))/(2,1+x) \cong (\IZ/2[x])/(1+x)[/mm]
Soweit so gut.
> die erste Relation folgt aus dem Entsprechungssatz.
>
> Doch bringt mir dies nun weiter? Wie kann ich nun folgern,
> dass [mm]R/(2,1+\wurzel{-5})[/mm] ein Integritätsring ist?
Wieviele Elemente hat der Ring denn?
Oder kannst du das sonstwie noch vereinfachen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Mo 03.11.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> Wieviele Elemente hat der Ring denn?
>
> Oder kannst du das sonstwie noch vereinfachen?
>
Also der letzte Ring sieht doch so aus:
[mm] \{a_0 + a_1x + ... + a_nx^n + (1+x) | a_i \in 0 , 1 \}
[/mm]
Aber ich sehe gerade nicht, wie ich dies noch vereinfachen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Wieviele Elemente hat der Ring denn?
> >
> > Oder kannst du das sonstwie noch vereinfachen?
> >
>
> Also der letzte Ring sieht doch so aus:
>
> [mm]\{a_0 + a_1x + ... + a_nx^n + (1+x) | a_i \in 0 , 1 \}[/mm]
>
> Aber ich sehe gerade nicht, wie ich dies noch vereinfachen
> kann...
Ok, nehmen wir mal ein anderes Beispiel.
Kennst du den Ring [mm] $\IR[x] [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + 1)$? Weisst du wie der aussieht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
Also ich habe nun herausgefunden, wie viele Elemente der Ring [mm] (\IZ/2[x])/(1+x) [/mm] hat.
Ich denke, das müssen die zwei Elemente 1 + (1+x) und (1+x) sein...?
Folgt aus "Division mit Rest".
Doch wie muss ich nun weiterfahren? Muss ich zeigen, dass dieser Ring ein Integritätsbereich ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 04.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also ich habe nun herausgefunden, wie viele Elemente der
> Ring [mm](\IZ/2[x])/(1+x)[/mm] hat.
>
> Ich denke, das müssen die zwei Elemente 1 + (1+x) und (1+x)
> sein...?
>
> Folgt aus "Division mit Rest".
Genau, der Ring hat zwei Elemente.
> Doch wie muss ich nun weiterfahren? Muss ich zeigen, dass
> dieser Ring ein Integritätsbereich ist?
Wieviele Ringe kennst du, die zwei Elemente haben?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 05.11.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo
> Wieviele Ringe kennst du, die zwei Elemente haben?
>
Also das kann nur der Ring sein, der die zwei Elemente 0 und 1 besitzt.
Also ist der Ring [mm] (\IZ/2[x])/(1+x) [/mm] isomorph zu diesem soeben genannten Ring.
Dieser ist ein Integritätsbereich und somit ist auch [mm] (\IZ/2[x])/(1+x) [/mm] ein Integritätsbereich. Kann ich dies so folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mi 05.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Wieviele Ringe kennst du, die zwei Elemente haben?
> >
>
> Also das kann nur der Ring sein, der die zwei Elemente 0
> und 1 besitzt.
Genau, es ist der endliche Koerper mit zwei Elementen.
> Also ist der Ring [mm](\IZ/2[x])/(1+x)[/mm] isomorph zu diesem
> soeben genannten Ring.
> Dieser ist ein Integritätsbereich und somit ist auch
> [mm](\IZ/2[x])/(1+x)[/mm] ein Integritätsbereich. Kann ich dies so
> folgern?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 05.11.2008 | | Autor: | jokerose |
Super, vielen Dank für die Hilfe. 
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