Primideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R:= [mm] \IZ[\sqrt{-5}]={a+b*\sqrt{-5} : a,b \in \IZ}
[/mm]
[mm] P_1:=(1+\sqrt{-5},2) [/mm] und [mm] P_2:=(1-\sqrt{-5},2)
[/mm]
Zeige [mm] (2)=P_1*P_2
[/mm]
|
Irgendwie bekomme ich das hier nicht hin.
Zuerst habe ich versucht zu zeigen, dass jedes element aus (2) auch in [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] ist, das habe ich auch geschafft. Aber die 1 ist dann wiederum nicht in [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2.
[/mm]
Danach habe ich versucht zu zeigen dass die 2 in [mm] P_1 [/mm] oder [mm] P_2 [/mm] ist und dann dass jedes element in R in dem jeweils anderen Primideal ist.
Hat irgendwie auch nicht geklappt.
Vielleicht verrechne ich mich nur dauernd. Weis jemand zufällig wie man das genau zeigt?
Danke
|
|
| |
|
Ich habe mittlerweile herausbekommen, dass jedes Hauptideal sich eindeutig als Produkt von Primidealen darstellen lässt. Gibt es dazu vielleicht eine Methodik, wie man die zerlegung hinbekommt?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
Schreibe doch mal die Definition von [mm] P_1\cdot{}P_2 [/mm] hin. Welche Elemente sind darin enthalten?
Dann schreibe dir nochmal die Definition von (2) hin. Welche Elemente sind darin enthalten?
> Aber die 1 ist dann wiederum nicht in [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2.[/mm]
Ein Ideal, welches die 1 enthält, ist bereits der ganze Ring.
|
|
|
| |
|
Ja die Definition ist doch:
[mm] P_1*P_2:=(2,1+\sqrt{5})*(2,1-\sqrt{5})={[2*z_1+(1+\sqrt{5})*z_2]*[2*z_3+(1-\sqrt{5})*z_4]:z_1,..z_4 \in Z[\sqrt{-5}]}
[/mm]
={ [mm] 4*z_1*z_3 [/mm] + [mm] 2*z_2*z_3*(1+\sqrt{-5}) +2*z_1*z_4+ z_2*z_4*6 [/mm] }
und (2)={ 2*z:z [mm] \in Z[\sqrt{-5}] [/mm] }={ [mm] 2*(q_1+q_2*\sqrt{-5}): q_1,q_2 \in \IZ [/mm] }
aber ich sehe nicht warum die beiden mengen gleich sein sollen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
> Ja die Definition ist doch:
>
> [mm]P_1*P_2:=(2,1+\sqrt{5})*(2,1-\sqrt{5})=\{[2*z_1+(1+\sqrt{5})*z_2]*[2*z_3+(1-\sqrt{5})*z_4]:z_1,..z_4 \in Z[\sqrt{-5}]\}[/mm]
Ja...
> [mm] =\{4*z_1*z_3 + 2*z_2*z_3*(1+\sqrt{-5}) +2*z_1*z_4+ z_2*z_4*6\}
[/mm]
...nicht ganz, es ist
[mm] =\left\{4z_1z_3+2(1-\sqrt{5})z_1z_4+2(1+\sqrt{5})z_2z_3-4z_2z_4\right\}
[/mm]
So, jetzt musst du nur noch ein bisschen ausmultiplizieren und sortieren, bis du einen Ausdruck erhältst der aussieht wie [mm] X+Y\sqrt{5}. [/mm] Dann untersuche, welche Werte $X$ annimmt und welche Werte $Y$ annimmt.
|
|
|
| |
|
echt vielen Dank!
du hast mir echt geholfen
|
|
|
|
