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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 01.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein ideal I [mm] \subset [/mm] R heißt Primideal, wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] R gilt:
a*b [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] I oder b [mm] \in [/mm] I.
Für ein Ideal I von R bezeichne V(I) die Menge aller Primideale von R, die I als Teilmenge enthalten.
Zeigen Sie, dass für Ideale [mm] I_{1}, I_{2} \subset [/mm] R gilt:
[mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2}) [/mm] = [mm] V(I_{1}*I_{2}).
[/mm]
Hierbei ist [mm] I_{1}*I_{2}= \{a*b | a \in I_{1}, b \in I_{2} \}. [/mm] |
Hallo liebe Forenmitglieder 
Habe mich mal an dieser Aufgabe versucht:
Es gelte:
[mm] V(I_{1})=\{P_{1},...,P_{l}\}, V(I_{2})=\{P_{l},...,P_{k}\}, [/mm] mit [mm] P_{l} \in \{\emptyset, P_{l}\}, [/mm] also es kann gelten: [mm] V(I_{1}) \cap V(I_{2}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] V(I_{1}) \cap V(I_{2})=\{P_{l}\}.
[/mm]
i) [mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2}):
[/mm]
sei [mm] P_{i} \in V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \Rightarrow P_{i} \in I_{1} \vee I_{2} [/mm] oder [mm] P_{i} \in I_{1} \cap I_{2}. [/mm]
Sei [mm] P_{i} \in I_{1} \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...,P_{l}\}.
[/mm]
[mm] V(I_{1}*I_{2})=\{P_{1},...,P_{k}\}, [/mm] mit k>l, [mm] \Rightarrow P_{i} \in V(I_{1}*I_{2}), [/mm]
Sei [mm] P_{i} \in I_{2}, [/mm] dann analog
Wenn [mm] P_{i} \in I_{1} \cap I_{2} [/mm] = [mm] P_{l} \Rightarrow P_{i} \in V(I_{1}*I_{2})
[/mm]
also [mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2}) [/mm]
ii) [mm] V(I_{1}*I_{2}) \subset V(I_{1}) \cup V(I_{2}):
[/mm]
sei [mm] P_{i} \in V(I_{1}*I_{2}) \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...P_{k}\} \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...,P_{k}\} \cup \{P_{k},...,P_{l}\}
[/mm]
Also folgt Behauptung.
Da gilt [mm] V(I_{1}*I_{2}) \subset V(I_{1}) \cup V(I_{2}) [/mm] und [mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2}) [/mm] folgt [mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2})=V(I_{1}*I_{2})
[/mm]
Wäre das so ok?
LG,
DrRiese
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
Keine Korrekturmöglichkeit? :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein ideal I [mm]\subset[/mm] R
> heißt Primideal, wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] R gilt:
> a*b [mm]\in[/mm] I [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] I oder b [mm]\in[/mm] I.
>
> Für ein Ideal I von R bezeichne V(I) die Menge aller
> Primideale von R, die I als Teilmenge enthalten.
>
> Zeigen Sie, dass für Ideale [mm]I_{1}, I_{2} \subset[/mm] R gilt:
> [mm]V(I_{1}) \cup V(I_{2})[/mm] = [mm]V(I_{1}*I_{2}).[/mm]
>
> Hierbei ist [mm]I_{1}*I_{2}= \{a*b | a \in I_{1}, b \in I_{2} \}.[/mm]
>
> Hallo liebe Forenmitglieder
>
> Habe mich mal an dieser Aufgabe versucht:
>
> Es gelte:
> [mm]V(I_{1})=\{P_{1},...,P_{l}\}, V(I_{2})=\{P_{l},...,P_{k}\},[/mm]
> mit [mm]P_{l} \in \{\emptyset, P_{l}\},[/mm] also es kann gelten:
> [mm]V(I_{1}) \cap V(I_{2})[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] oder [mm]V(I_{1}) \cap V(I_{2})=\{P_{l}\}.[/mm]
>
> i) [mm]V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2}):[/mm]
>
> sei [mm]P_{i} \in V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \Rightarrow P_{i} \in I_{1} \vee I_{2}[/mm]
> oder [mm]P_{i} \in I_{1} \cap I_{2}.[/mm]
> Sei [mm]P_{i} \in I_{1} \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...,P_{l}\}.[/mm]
>
> [mm]V(I_{1}*I_{2})=\{P_{1},...,P_{k}\},[/mm] mit k>l, [mm]\Rightarrow P_{i} \in V(I_{1}*I_{2}),[/mm]
> Sei [mm]P_{i} \in I_{2},[/mm] dann analog
> Wenn [mm]P_{i} \in I_{1} \cap I_{2}[/mm] = [mm]P_{l} \Rightarrow P_{i} \in V(I_{1}*I_{2})[/mm]
>
> also [mm]V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2})[/mm]
>
> ii) [mm]V(I_{1}*I_{2}) \subset V(I_{1}) \cup V(I_{2}):[/mm]
>
> sei [mm]P_{i} \in V(I_{1}*I_{2}) \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...P_{k}\} \Rightarrow P_{i} \in \{P_{1},...,P_{k}\} \cup \{P_{k},...,P_{l}\}[/mm]
>
> Also folgt Behauptung.
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> Da gilt [mm]V(I_{1}*I_{2}) \subset V(I_{1}) \cup V(I_{2})[/mm] und
> [mm]V(I_{1}) \cup V(I_{2}) \subset V(I_{1}*I_{2})[/mm] folgt
> [mm]V(I_{1}) \cup V(I_{2})=V(I_{1}*I_{2})[/mm]
>
> Wäre das so ok?
Überhaupt nicht ! Mit Verlaub, obiges ist großer Murks !
Du hast nicht verstanden, was Du zeigen sollst.
Zeigen sollst Du:
1. Ist P [mm] \in [/mm] $ [mm] V(I_{1}) \cup V(I_{2}) [/mm] $, so ist P [mm] \in V(I_1*I_2).
[/mm]
Dazu genügt es zu zeigen: P [mm] \in V(I_{1}), [/mm] so ist P [mm] \in V(I_1*I_2).
[/mm]
Zeige also: Ist P ein Primideal mit [mm] I_1 \subseteq [/mm] P, so gilt auch [mm] I_1*I_2 \subseteq [/mm] P.
2. Ist P [mm] \in V(I_1*I_2), [/mm] so ist P [mm] \in V(I_{1}) [/mm] oder P [mm] \in V(I_{2}).
[/mm]
Zeige also: Ist P ein Primideal mit [mm] I_1*I_2 \subseteq [/mm] P, so ist [mm] I_1 \subseteq [/mm] P oder [mm] I_2 \subseteq [/mm] P.
FRED
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> LG,
> DrRiese
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