Primidealpotenz nicht primär < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 15.01.2014 | | Autor: | valoo |
Hallo,
ich versuche gerade zu verstehen, warum ein bestimmtes Ideal nicht primär sein soll und irgendwie stehe ich dabei auf dem Schlauch.
Betrachtet werde das von den Restklassen von X und Y erzeugtes Ideal Q im Ring $ [mm] K[X,Y,Z]/(XY-Z^{2}) [/mm] $. Dieses ist prim, da man beim Rausteilen einen Polynomring in einer Variablen kriegt. Soweit so gut. Aber [mm] Q^{2} [/mm] soll nun nicht primär sein, denn [mm] \overline{XY}=\overline{Z}^{2} \in Q^{2} [/mm]
(das wäre das Argument, dass ich nicht verstehe...)
Ein Ideal I heißt doch primär, wenn aus [mm] ab\in [/mm] I folgt, dass a oder eine Potenz von b in I ist. Nun ist hier zwar [mm] \overline{Z} [/mm] nicht in [mm] Q^{2} [/mm] aber eben [mm] \overline{Z}^{2} [/mm] und Potenzen von [mm] \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{Y} [/mm] sowieso...?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Berieux |
> Hallo,
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> ich versuche gerade zu verstehen, warum ein bestimmtes
> Ideal nicht primär sein soll und irgendwie stehe ich dabei
> auf dem Schlauch.
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> Betrachtet werde das von den Restklassen von X und Y
> erzeugtes Ideal Q im Ring [mm]K[X,Y,Z]/(XY-Z^{2}) [/mm]. Dieses ist
> prim, da man beim Rausteilen einen Polynomring in einer
> Variablen kriegt. Soweit so gut. Aber [mm]Q^{2}[/mm] soll nun nicht
> primär sein, denn [mm]\overline{XY}=\overline{Z}^{2} \in Q^{2}[/mm]
> (das wäre das Argument, dass ich nicht verstehe...)
> Ein Ideal I heißt doch primär, wenn aus [mm]ab\in[/mm] I folgt,
> dass a oder eine Potenz von b in I ist. Nun ist hier zwar
> [mm]\overline{Z}[/mm] nicht in [mm]Q^{2}[/mm] aber eben [mm]\overline{Z}^{2}[/mm] und
> Potenzen von [mm]\overline{X}[/mm] und [mm]\overline{Y}[/mm] sowieso...?!
Hallo.
Das von den Restklassen von X und Y erzeugte Ideal ist nicht prim. Teilt man es heraus erhält man die dualen Zahlen über k.
Das Ideal das du betrachten willst ist <X,Z>.
Viele Grüße
Berieux
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