Primidealzerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:38 Di 26.07.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
sei [mm]K:=\mathbb Q(\sqrt{-39})=\{a+b\sqrt{-39},a,b\in\mathbb Q\}[/mm]
und [mm]O_K=\{\frac{a+b\sqrt{-39}}{2},a,b\in\mathbb Z,a\equiv b mod 2\}[/mm] der zugehörige Ganzheitsring.
Ich möchte
1) die Primidealzerlegung [mm]p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4[/mm] des Ideals [mm](10)[/mm] in [mm]O_K[/mm] bestimmen bzw. nachweisen, dass die Ideale Primideale sind.
2)Die Produkte der 4 Primideale bestimmen.
Meine Überlegungen zu 1):
Da [mm]-39\equiv 1 mod 4[/mm] müsste nach dem Zerlegungsgesetz (siehe http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/qzk.pdf, S.61, Satz 4.8, bzw. Beweis)
[mm](10)=(2)\cdot (5)=(2,\frac{1+\sqrt{-39}}{2})(2,\frac{1-\sqrt{-39}}{2})(5,\frac{1+\sqrt{-39}}{2})(5,\frac{1-\sqrt{-39}}{2})[/mm] [mm]=:p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4[/mm] sein.
Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich beweisen kann, dass die Ideale prim sind?
2) Ich habe bereits bewiesen, dass [mm]p_1*p_2=(2)[/mm] und [mm]p_3*p_4=(5)[/mm] und ferner, dass
[mm]p_2*p_4=(\frac{1}{2}(1-\sqrt{-39}))[/mm].
Allerdings habe ich keine Idee, was das Ergebnis von [mm]p_2*p_3[/mm] oder [mm]p_1*p_4[/mm] seien könnte.
Hätte jemand einen Vorschlag?
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 27.07.2016 | | Autor: | hippias |
Zur 1. Frage: Ich setze [mm] $\delta= \frac{1+\sqrt{-39}}{2}$.
[/mm]
Zeige, dass
1. [mm] $O_{K}= \IZ[\delta]$
[/mm]
2. [mm] $O_{k}= \IZ+p_{i}$
[/mm]
3. [mm] $\IZ\cap p_{i}$ [/mm] ein Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm]
gilt.
Wende einen Isomorphiesatz auf [mm] $O_{k}/p_{i}$ [/mm] an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 So 07.08.2016 | | Autor: | Fry |
Hey Hippas,
nochmal vielen Dank für deine Antwort! :)
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 01.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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