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Primitive Elemente: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Sa 14.12.2013
Autor: NiklasKlause

Hallo,

[mm] \IZ_{6} [/mm] bildet eine Gruppe bezüglich der Addition

(1) abgeschlossen
(2) assoziativ
(3) Es gibt ein Neutralelement (nämlich 0)
(4) Für jedes Element [mm] a\in \IZ_{6} [/mm] gibt es ein inverses Element -a

Betrachtet man nun nur die Einheitengruppe von [mm] \IZ_{6}, [/mm] dann gilt

[mm] \IZ^{*}_{6} [/mm] = {1, 5}

Die Einheitengruppe soll ja nicht zyklisch sein, da die 6 nicht prim ist. ABER

[mm] 5^1 [/mm] = 5 (mod 6)
[mm] 5^2 [/mm] = 1 (mod 6)

Wie man sieht, ist 5 das primitive Element, d.h. Die Einheitengruppe ist daher zyklisch. Wie kann das denn sein? Wo ist der Gedankenfehler?

P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Primitive Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 So 15.12.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

der Fehler liegt in der Annahme, dass die Einheitengruppe von [mm] $\IZ_n$ [/mm] nur dann zyklisch ist, wenn $n$ eine Primzahl ist.
Es stimmt, die Einheitengruppe von [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist zyklisch für jede Primzahl $p$. Aber die andere Richtung stimmt nicht, es gibt noch viele weitere $n$, für die die Einheitengruppe zyklisch ist; mit $n=6$ hast du ein Beispiel dafür gefunden. :)


lg

Schadow

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