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Hey,
deine Definition einer Primitivwurzel ist leider noch etwas falsch, guck die bitte nochmal ganz genau nach.
Dann wirst du sehen, dass du zeigen musst:
[mm] $2p^l \mid w^{p^l-1}-1$ [/mm] und [mm] $p^l-1$ [/mm] ist die kleinste Zahl $k$ mit [mm] $2p^l \mid w^k-1$.
[/mm]
Wenn du dabei nicht weiter kommst sag gern Bescheid.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 16.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
Tut mir leid, weiss da aber nicht so richtig weiter, wie man das jetzt allg zeigen könnte :-(
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Der erste Schritt besteht darin, die Definition nachzugucken:
Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Ein $w [mm] \in \IZ$ [/mm] heißt primitive Einheitswurzel zu $n$, wenn gilt:
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Guck mal genau nach, was hier gelten muss, wie ihr das definiert habt.
Wenn du das hast und die Definition verstanden hast, dann können wir uns an die Frage machen, wie genau das jetzt gezeigt werden kann.
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Naja, fast.
Ein Problem noch:
Was sind die Ordnungen von [mm] $\IZ_{p^l}^{\*}$ [/mm] und [mm] $\IZ_{2p^l}^{\*}$.
[/mm]
Als Tipp: Es sind nicht [mm] $p^l-1$ [/mm] oder [mm] $2p^l-1$. [/mm] :)
Sonst sieht die Definition bis zum "Wir wissen" gut aus.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 17.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
Achsoo, bin ich mit der Ordnung falsch abgebogen 
Also die Gruppenordnung modulo [mm] p^{l} [/mm] ist von der Eulerschen Phi-Funktion [mm] \varphi(p^{l}) =|\{a \in p^{l}| 1 \le a \le p^{l} \wedge ggT(a,p^{l})=1\}| [/mm] gegeben.
[mm] \varphi(p^{l})=\varphi(p)*...*\varphi(p) [/mm] = [mm] (p-1)^{l}
[/mm]
Ordnung w = [mm] (p-1)^{l} [/mm] = Ordnung [mm] \IZ_{p^{l}}^{\*}
[/mm]
Ordnung [mm] \IZ_{2p^{l}} [/mm] = [mm] \varphi(2p^{l})=\varphi(2)*\varphi(p^{l})=1*(p-1)^{l}
[/mm]
Kann man dann nicht jetzt einfach sagen: Da gilt ord [mm] \IZ_{2p^{l}}^{\*}=ord \IZ_{p^{l}}^{\*}=ord [/mm] w [mm] \Rightarrow [/mm] w auch Primitivwurzel mod [mm] 2p^{l}
[/mm]
LG
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Hmm, leider nochmal daneben:
[mm] $\phi(ab) [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b)$ [/mm] gilt nur wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
In diesem Fall gilt [mm] $\phi(p^l) =p^l-p^{l-1} [/mm] = [mm] p^{l-1}(p-1)$.
[/mm]
Und nur weil die Gruppen gleiche Ordnung haben muss das noch nicht gelten, $w$ kann ja modulo [mm] $p^l$ [/mm] was anderes sein als modulo [mm] $2p^l$.
[/mm]
Hier ist also - mit der richtigen Gruppenordnung - noch ein wenig Arbeit zu leisten.
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