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Primitivwurzel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 So 15.12.2013
Autor: DrRiese

Aufgabe
Sei p eine ungerade Primzahl und w [mm] \in \IZ, [/mm] 1 < w < [mm] p^{l} [/mm] ungerade, eine Primitivwurzel modulo [mm] p^{l}, [/mm] l [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass dann w auch eine Primitivwurzel modulo [mm] 2p^{l} [/mm] sein muss.

Hallo :-)
Komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich über den Ansatz hinaus..

Wir wissen: w Primitivwurzel modulo [mm] p^{l}, [/mm] also [mm] w^{p^{l}-1} \equiv [/mm] 1 mod [mm] p^{l} [/mm]
[mm] p^{l}|w^{p^{l}-1}-1 [/mm]

z.Z.
[mm] 2p^{l}|w^{2p^{l}-1}-1 [/mm]

Man kann schreiben: [mm] w^{p^{l}-1}=(w^{p^{l}-1})^{p^{l}}=w^{2p^{l}-1}, [/mm] also

[mm] p^{l}|w^{2p^{l}-1}-1 [/mm]

Und nun muss ich irgendwie zeigen, dass gilt [mm] p^{l}+p^{l}|w^{2p^{l}-1}-1 \gdw w^{2p^{l}-1} \equiv [/mm] 1 mod [mm] 2p^{l} [/mm]

Hätte jemand ne Idee? :-)

        
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Primitivwurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 So 15.12.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

deine Definition einer Primitivwurzel ist leider noch etwas falsch, guck die bitte nochmal ganz genau nach.
Dann wirst du sehen, dass du zeigen musst:
[mm] $2p^l \mid w^{p^l-1}-1$ [/mm] und [mm] $p^l-1$ [/mm] ist die kleinste Zahl $k$ mit [mm] $2p^l \mid w^k-1$. [/mm]

Wenn du dabei nicht weiter kommst sag gern Bescheid.


lg

Schadow

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Primitivwurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 16.12.2013
Autor: DrRiese

Tut mir leid, weiss da aber nicht so richtig weiter, wie man das jetzt allg zeigen könnte :-(

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Primitivwurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Di 17.12.2013
Autor: Schadowmaster

Der erste Schritt besteht darin, die Definition nachzugucken:

Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Ein $w [mm] \in \IZ$ [/mm] heißt primitive Einheitswurzel zu $n$, wenn gilt:
-
-
-

Guck mal genau nach, was hier gelten muss, wie ihr das definiert habt.
Wenn du das hast und die Definition verstanden hast, dann können wir uns an die Frage machen, wie genau das jetzt gezeigt werden kann.

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Primitivwurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:31 Di 17.12.2013
Autor: DrRiese

Ok :-)

Also wir haben es folgendermaßen gemacht:

Ein erzeugendes Element von [mm] \IF^{\*} [/mm] heißt primitives Element von [mm] \IF, [/mm] Primitivwurzel modulo p, falls [mm] \IF [/mm] = [mm] \IZ_{p}. [/mm]

Kann man bestimmt noch schöner machen:

Ein Element w [mm] \in \IZ_{p} [/mm] heißt Primitivwurzel, wenn gilt [mm] \IZ_{p}^{\*}=\{w^{m}|m \in \IZ\}, [/mm] für p prim.

Hierbei muss gelten: [mm] w^{ord \IZ_{p}^{\*}} [/mm] = 1 und [mm] w^{k} \not= [/mm] 1, [mm] \forall [/mm] k < ord [mm] \IZ_{p}^{\*}. [/mm]

Wir wissen: ord w = [mm] p^{l}-1 [/mm]
zu zeigen: [mm] w^{2p^{l}-1} [/mm] mod [mm] 2p^{l}-1 [/mm] = 1 und [mm] w^{k} [/mm] mod [mm] 2p^{l}-1 \not= [/mm] 1, [mm] \forall [/mm] k < [mm] 2p^{l}-1 [/mm]



LG :-)

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Primitivwurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Di 17.12.2013
Autor: Schadowmaster

Naja, fast.
Ein Problem noch:
Was sind die Ordnungen von [mm] $\IZ_{p^l}^{\*}$ [/mm] und [mm] $\IZ_{2p^l}^{\*}$. [/mm]
Als Tipp: Es sind nicht [mm] $p^l-1$ [/mm] oder [mm] $2p^l-1$. [/mm] :)

Sonst sieht die Definition bis zum "Wir wissen" gut aus.


lg

Schadow

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Primitivwurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Di 17.12.2013
Autor: DrRiese

Achsoo, bin ich mit der Ordnung falsch abgebogen :-)

Also die Gruppenordnung modulo [mm] p^{l} [/mm] ist von der Eulerschen Phi-Funktion [mm] \varphi(p^{l}) =|\{a \in p^{l}| 1 \le a \le p^{l} \wedge ggT(a,p^{l})=1\}| [/mm]  gegeben.

[mm] \varphi(p^{l})=\varphi(p)*...*\varphi(p) [/mm] = [mm] (p-1)^{l} [/mm]
Ordnung w = [mm] (p-1)^{l} [/mm] = Ordnung [mm] \IZ_{p^{l}}^{\*} [/mm]

Ordnung [mm] \IZ_{2p^{l}} [/mm] = [mm] \varphi(2p^{l})=\varphi(2)*\varphi(p^{l})=1*(p-1)^{l} [/mm]

Kann man dann nicht jetzt einfach sagen: Da gilt ord [mm] \IZ_{2p^{l}}^{\*}=ord \IZ_{p^{l}}^{\*}=ord [/mm] w [mm] \Rightarrow [/mm] w auch Primitivwurzel mod [mm] 2p^{l} [/mm]

LG

Bezug
                                                        
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Primitivwurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Di 17.12.2013
Autor: Schadowmaster

Hmm, leider nochmal daneben:
[mm] $\phi(ab) [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b)$ [/mm] gilt nur wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
In diesem Fall gilt [mm] $\phi(p^l) =p^l-p^{l-1} [/mm] = [mm] p^{l-1}(p-1)$. [/mm]

Und nur weil die Gruppen gleiche Ordnung haben muss das noch nicht gelten, $w$ kann ja modulo [mm] $p^l$ [/mm] was anderes sein als modulo [mm] $2p^l$. [/mm]
Hier ist also - mit der richtigen Gruppenordnung - noch ein wenig Arbeit zu leisten.

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