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| Aufgabe | p Primzahl, k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \IF_{p^{k}} [/mm] = { [mm] a_{0}\alpha^{0} [/mm] + [mm] a_{1}\alpha^{1} [/mm] + ... + [mm] a_{k-1}\alpha^{k-1} [/mm] | [mm] a_{0}, a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{k-1} \in \IF_{p} [/mm] } für ein [mm] \alpha \in \IF_{p^{k}}
[/mm]
[mm] \IF_{4} [/mm] = {a + [mm] b\alpha [/mm] | a, b [mm] \in \IF_{2} [/mm] }, [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm] \IF_{4}.
[/mm]
Ich verstehe die Stelle: [mm] "\alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha" [/mm] nicht.
Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm] \IF_{4} [/mm] wie folgt darstellen:
Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.
[mm] 11^{\IF_{4}} [/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3
Ausserdem soll [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}} [/mm] (also [mm] \IF_{4}) [/mm] und a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] (also [mm] \IF_{2}) [/mm] sein.
Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm] \alpha [/mm] = 3 und Element aus [mm] \IF_{4}.
[/mm]
Dann muss ja laut def folgendes gelten:
[mm] \alpha^{2} [/mm] = 9 = 1 + [mm] \alpha [/mm] = 1 + 3 = 4. Das kann ja nicht sein, weil
In [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] gilt:
9 = 1 und 4 = 0, allerdings ist 1 [mm] \not= [/mm] 0
Also was mache ich falsch?
Ich bin mir ziemlich sicher dass es sich um etwas banales handelt aber habe grade ein Brett vorm Kopf und brauche eure Hilfe.
Gruss
Blutritter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 23.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \IF_4 [/mm] ist doch nicht durch 0,1,2,3 beschrieben sondern durch [mm] a+\alpha*b, [/mm] a,b [mm] \in F_2
[/mm]
[mm] \alpha=(1\pm\sqrt(5))/2 [/mm] welche 4 Elemente hast du dann ?
Gruß ledum
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Hallo,
danke für die Antwort.
Ich komme nicht drauf :(. Warum [mm] \wurzel{5} [/mm] ?
Man kann [mm] \IF_{4} [/mm] auch wie folgt darstellen:
[mm] \IF_{4} [/mm] := {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} das ist mir bekannt aber ich sehe den Zusammenhang nicht.
Gruss
Blutritter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 23.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
hinter deine [mm] \IF_4 [/mm] steht doch eine Definition und nicht 0,1,2,3,4! und [mm] r^2=1+r [/mm] hat welche Lösungen für r?
dass du nun noch die negativen Zahlen dazuschreibst, sagt nur dass du nicht in [mm] Z_4 [/mm] nicht weisst, dass 3 und -1 dasselbe ist .
ist denn dein F_ 4 mit 2*2=0 ein Körper?
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Sa 23.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart!
> hinter deine [mm]\IF_4[/mm] steht doch eine Definition und nicht
> 0,1,2,3,4! und [mm]r^2=1+r[/mm] hat welche Lösungen für r?
In welchem Körper möchtest du die Gleichung [mm] $r^2=1+r$ [/mm] lösen?
Falls in [mm] $\IR$: [/mm] Warum? Was hat das mit dem Körper [mm] $\IF_4$ [/mm] zu tun?
Falls in [mm] $\IF_4$: [/mm] Dann kannst du sicherlich nicht durch 2 dividieren, denn es gilt $1+1=0$ in [mm] $\IF_4$.
[/mm]
> dass du nun noch die negativen Zahlen dazuschreibst, sagt
> nur dass du nicht in [mm]Z_4[/mm] nicht weisst, dass 3 und -1
> dasselbe ist .
Es geht doch hier um [mm] $\IF_4$ [/mm] und nicht um [mm] $Z_4$???
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 23.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Blutritter!
> [mm]\IF_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$, [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1
> + [mm]\alpha[/mm]
Dies würde ich eher weniger als Definition von [mm] $\IF_4$ [/mm] verstehen, sondern eher als Beschreibung von Eigenschaften dieses Körpers:
- Es gilt (bei eurer Version von [mm] $\IF_4$): $\IF_4$ [/mm] ist ein Oberkörper von [mm] $\IF_2$ [/mm] (der ja bekanntlich nur aus den Elementen [mm] $0_{\IF_2}$ [/mm] und [mm] $1_{\IF_2}$ [/mm] besteht, wobei in ihm [mm] $1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}$ [/mm] gilt). Insbesondere ist [mm] $0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4$ [/mm] und [mm] $1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4$ [/mm] und mit diesen Elementen 0 und 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in [mm] $\IF_4$ [/mm] genauso wie in [mm] $\IF_2$ [/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm] $\IF_4$).
[/mm]
- Es gibt ein weiteres Element [mm] $\alpha\in\IF_4$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2=1+\alpha$ [/mm] in [mm] $\IF_4$ [/mm] (dieses Element [mm] $\alpha$ [/mm] stimmt nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm] $0^2=0\not=1=1+0$ [/mm] und [mm] $1^2=1\not=0=1+1$ [/mm] in [mm] $\IF_2$ [/mm] und damit auch in [mm] $\IF_4$).
[/mm]
- JEDES Element von [mm] $\IF_4$ [/mm] lässt sich in der Form [mm] $a+b*\alpha$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IF_2$ [/mm] schreiben.
Die vier Elemente von [mm] $\IF_4$ [/mm] lassen sich also schreiben als:
[mm] $0+0*\alpha=0$
[/mm]
[mm] $1+0*\alpha=1$
[/mm]
[mm] $0+1*\alpha=\alpha$
[/mm]
[mm] $1+1*\alpha=1+\alpha$
[/mm]
(Beachte, dass hier + nicht für die Addition reeller Zahlen, sondern für die Addition in [mm] $\IF_4$ [/mm] steht!)
> ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm]\IF_{4}.[/mm]
>
> Ich verstehe die Stelle: [mm]"\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha"[/mm] nicht.
Ist sie durch obige Erklärungen etwas klarer geworden?
> Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm]\IF_{4}[/mm] wie folgt
> darstellen:
>
> Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.
Was meinst du mit der "Zahl 11" im Zusammenhang mit [mm] $\IF_4$?
[/mm]
Vermutlich meinst du das Körperelement von [mm] $\IF_4$ [/mm] gegeben durch [mm] $1+1+\ldots+1$ [/mm] mit genau $11$ Einsen?
Dieses stimmt mit dem Element 1 überein, wie man sich mithilfe von $1+1=0$ in [mm] $\IF_4$ [/mm] überlegen kann.
> [mm]11^{\IF_{4}}[/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3
Ja, so kann man in [mm] $\IF_4$ [/mm] rechnen. Es gilt in diesem Körper weiter $3=(1+1)+1=0+1=1$.
> Ausserdem soll [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}}[/mm] (also [mm]\IF_{4})[/mm] und a,
> b [mm]\in \IF_{p}[/mm] (also [mm]\IF_{2})[/mm] sein.
>
> Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> aus [mm]\IF_{4}.[/mm]
Nein, in [mm] $\IF_4$ [/mm] gilt sicherlich nicht [mm] $\alpha=3$ [/mm] (denn dann wäre [mm] $\alpha=1$ [/mm] und würde nicht der Gleichung [mm] $\alpha^2=1+\alpha$ [/mm] genügen).
Viele Grüße
Tobias
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Ich glaube, daß dem Fragesteller nicht klar ist, daß [mm]\mathbb{F}_4[/mm] etwas ganz, ganz anderes als [mm]\mathbb{Z}_4[/mm] ist. Daher rührt das ganze Chaos.
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Hallo Tobias,
danke für deine ausführliche Antwort.
> > [mm]\IF_{4}[/mm] = [mm]\{[/mm]a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{2}[/mm] [mm]\}[/mm], [mm]\alpha^{2}[/mm] =
> 1
> > + [mm]\alpha[/mm]
> Dies würde ich eher weniger als Definition von [mm]\IF_4[/mm]
> verstehen, sondern eher als Beschreibung von Eigenschaften
> dieses Körpers:
ok.
> - Es gilt (bei eurer Version von [mm]\IF_4[/mm]): [mm]\IF_4[/mm] ist ein
> Oberkörper von [mm]\IF_2[/mm] (der ja bekanntlich nur aus den
> Elementen [mm]0_{\IF_2}[/mm] und [mm]1_{\IF_2}[/mm] besteht, wobei in ihm
> [mm]1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}[/mm] gilt). Insbesondere
> ist [mm]0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und
> [mm]1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und mit diesen Elementen 0 und
> 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in
> [mm]\IF_4[/mm] genauso wie in [mm]\IF_2[/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm]\IF_4[/mm]).
Ok, hier wäre schon meine erste Frage: Wieso darf man in [mm] \IF_{4} [/mm] 0 = 1 + 1 rechnen? Wenn 1 + 1 = 0 ist, wie bekommt man dann 4 Elemente in [mm] \IF_{4} [/mm] zusammen?
Also so wie ich es verstanden habe hat ja [mm] \IF_{4} [/mm] 4 Elemente. Das können im Prinzip alle Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] als Körperelemente aus [mm] \IF_{4} [/mm] sein oder? Angenommen [mm] \IF_{4} [/mm] = {0, 1, 2, 3}:
Dann kann man [mm] \IF_{4} [/mm] ja auch wie folgt darstellen [mm] \IF_{4} [/mm] = {-1, -2, -3, 0} = {-1, -2, 0, 1} = {-1, 0, 1, 2} oder aber auch als {-4, -5, -6, -7}
Weil ja folgende Körperelemente identisch sind : 3 = -1 = -5, 2 = -2 = -4, 1 = -3 = -7, 0 = -4 = -8.
Ok angenommen 1 + 1 = 0 in [mm] \IF_{4} [/mm] dann wäre ja 3 = -1 = -5 auch 3 = 0 + 1 = 1 also 3 = 1. Was mache ich falsch?
> - Es gibt ein weiteres Element [mm]\alpha\in\IF_4[/mm] mit
> [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] (dieses Element [mm]\alpha[/mm] stimmt
> nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm]0^2=0\not=1=1+0[/mm] und
> [mm]1^2=1\not=0=1+1[/mm] in [mm]\IF_2[/mm] und damit auch in [mm]\IF_4[/mm]).
Ok die Begründung dafür, dass [mm] \alpha \not= [/mm] 0 oder 1 sein kann habe ich zwar verstanden, aber warum wird das dann nicht in der Beschreibung von [mm] \IF_{4} [/mm] ausgeschlossen? Ich habe es vergessen dazu zu schreiben aber bei der Beschreibung von [mm] \IF_{4} [/mm] steht noch, dass [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}} [/mm] = [mm] \IF_{4} [/mm] ist.
Also wie [mm] folgt:\IF_{p^{2}} [/mm] = { a + [mm] b\alpha [/mm] | a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] } für ein [mm] \alpha \in \IF_{p^{2}}, [/mm]
speziell für [mm] \IF_{4} [/mm] stand dann noch [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha
[/mm]
> - JEDES Element von [mm]\IF_4[/mm] lässt sich in der Form
> [mm]a+b*\alpha[/mm] mit [mm]a,b\in\IF_2[/mm] schreiben.
>
>
> Die vier Elemente von [mm]\IF_4[/mm] lassen sich also schreiben
> als:
>
> [mm]0+0*\alpha=0[/mm]
> [mm]1+0*\alpha=1[/mm]
> [mm]0+1*\alpha=\alpha[/mm]
> [mm]1+1*\alpha=1+\alpha[/mm]
>
> (Beachte, dass hier + nicht für die Addition reeller
> Zahlen, sondern für die Addition in [mm]\IF_4[/mm] steht!)
Ok bis hierhin ist es auch klar.
> > ich habe eine Frage zu dem o.g. Körper [mm]\IF_{4}.[/mm]
> >
> > Ich verstehe die Stelle: [mm]"\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha"[/mm] nicht.
> Ist sie durch obige Erklärungen etwas klarer geworden?
Mir die Herkunft von [mm] \alpha^{2} [/mm] = 1 + [mm] \alpha [/mm] nach wie vor nicht klar, sorry :(.
> > Ich kann ja Elemente oder Zahlen in [mm]\IF_{4}[/mm] wie folgt
> > darstellen:
> >
> > Nehmen wir als Beispiel mal die Zahl 11.
> Was meinst du mit der "Zahl 11" im Zusammenhang mit
> [mm]\IF_4[/mm]?
> Vermutlich meinst du das Körperelement von [mm]\IF_4[/mm] gegeben
> durch [mm]1+1+\ldots+1[/mm] mit genau [mm]11[/mm] Einsen?
> Dieses stimmt mit dem Element 1 überein, wie man sich
> mithilfe von [mm]1+1=0[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] überlegen kann.
Jupp das ist damit gemeint.
> > [mm]11^{\IF_{4}}[/mm] = 3 + 2 * 4 = 3 + 2 * 0 = 3 + 0 = 3
> Ja, so kann man in [mm]\IF_4[/mm] rechnen. Es gilt in diesem
> Körper weiter [mm]3=(1+1)+1=0+1=1[/mm].
Warum? Siehe oben.
> > Ausserdem soll [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}}[/mm] (also [mm]\IF_{4})[/mm] und a,
> > b [mm]\in \IF_{p}[/mm] (also [mm]\IF_{2})[/mm] sein.
> >
> > Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> > aus [mm]\IF_{4}.[/mm]
> Nein, in [mm]\IF_4[/mm] gilt sicherlich nicht [mm]\alpha=3[/mm] (denn dann
> wäre [mm]\alpha=1[/mm] und würde nicht der Gleichung
> [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] genügen).
Genau, es genügt der Gleichung nicht, wenn [mm] \alpha [/mm] = 3 daher hab ich es auch so gewählt, weils eben nicht ausgeschlossen wird.
Warum darf man es nicht nehmen?
Gruss
Blutritter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 24.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Vorweg: Leider wird meine Antwort unbefriedigend bleiben.
Ich bin aktuell weder willens noch in der Lage (meine Algebra-Vorlesung ist schon etwas her...), hier saubere Begründungen der Theorie der endlichen Körper zu geben.
Anbieten kann ich dir lediglich folgende Sichtweise: Wir vertrauen den Ergebnissen der Algebra und versuchen lediglich zu verstehen, was sie besagen und nicht, warum sie gelten.
Wenn du dennoch Begründungen suchst, frag bitte nochmal nach; vielleicht findet sich jemand Anderes.
> > - Es gilt (bei eurer Version von [mm]\IF_4[/mm]): [mm]\IF_4[/mm] ist ein
> > Oberkörper von [mm]\IF_2[/mm] (der ja bekanntlich nur aus den
> > Elementen [mm]0_{\IF_2}[/mm] und [mm]1_{\IF_2}[/mm] besteht, wobei in ihm
> > [mm]1_{\IF_2}+_{\IF_2}1_{\IF_2}=0_{\IF_2}[/mm] gilt). Insbesondere
> > ist [mm]0_{\IF_2}=0_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und
> > [mm]1_{\IF_2}=1_{\IF_4}\in\IF_4[/mm] und mit diesen Elementen 0 und
> > 1 (ich lasse jetzt die Indizierung weg) rechnet man in
> > [mm]\IF_4[/mm] genauso wie in [mm]\IF_2[/mm] (insbesondere 1+1=0 in [mm]\IF_4[/mm]).
>
> Ok, hier wäre schon meine erste Frage: Wieso darf man in
> [mm]\IF_{4}[/mm] 0 = 1 + 1 rechnen?
Dies möchte ich als Ergebnis der Theorie der Algebra hinnehmen.
> Wenn 1 + 1 = 0 ist, wie bekommt
> man dann 4 Elemente in [mm]\IF_{4}[/mm] zusammen?
Die vier Elemente von [mm] $\IF_4$ [/mm] lauten bei eurer Darstellung:
0, 1, [mm] $\alpha$, $1+\alpha$.
[/mm]
[mm] $\alpha$ [/mm] lässt sich NICHT durch wiederholte Addition von 1 mit sich selbst erhalten.
> Also so wie ich es verstanden habe hat ja [mm]\IF_{4}[/mm] 4
> Elemente.
Ja, [mm] $\IF_4$ [/mm] hat vier Elemente.
> Das können im Prinzip alle Zahlen aus [mm]\IZ[/mm] als
> Körperelemente aus [mm]\IF_{4}[/mm] sein oder?
[mm] $\IF_4$ [/mm] hat vier Elemente, [mm] $\IZ$ [/mm] dagegen unendlich viele.
Es lässt sich zwar ein Zusammenhang zwischen [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IF_4$ [/mm] herstellen, aber ich glaube nicht, dass dieser dir groß weiterhilft.
> Angenommen [mm]\IF_{4}[/mm] =
> {0, 1, 2, 3}:
Wenn du möchtest, könntest du zwar z.B. mit 2 das Körperelement [mm] $\alpha$ [/mm] bezeichnen, aber auch das finde ich nicht hilfreich. Vor allem kannst du dann nicht gleichzeitig auch die Zahl 1+1 (in [mm] $\IF_4$) [/mm] mit $2$ bezeichnen, denn [mm] $\alpha\not=0=1+1$ [/mm] in [mm] $\IF_4$.
[/mm]
> Dann kann man [mm]\IF_{4}[/mm] ja auch wie folgt darstellen [mm]\IF_{4}[/mm]
> = {-1, -2, -3, 0} = {-1, -2, 0, 1} = {-1, 0, 1, 2} oder
> aber auch als {-4, -5, -6, -7}
Vermutlich meinst du Folgendes:
[mm] $(-1)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_\IF_4$ [/mm] in [mm] $\IF_4$
[/mm]
[mm] $(-2)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}$ [/mm] in [mm] $\IF_4$
[/mm]
[mm] $(-3)_{\IF_4}$ [/mm] bezeichne das additiv Inverse von [mm] $1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}+_{\IF_4}1_{\IF_4}$ [/mm] in [mm] $\IF_4$.
[/mm]
Nun vermutest du [mm] $\IF_4=\{(-1)_{\IF_4},(-2)_{\IF_4},(-3)_{\IF_4},0_{\IF_4}\}$.
[/mm]
Das ist völlig falsch!
Es gilt in [mm] $\IF_4$: $(-1)_{\IF_4}=(-3)_{\IF_4}=1_{\IF_4}$ [/mm] und [mm] $(-2)_{\IF_4}=0_{\IF_4}$.
[/mm]
Somit enthält [mm] $\{(-1)_{\IF_4},(-2)_{\IF_4},(-3)_{\IF_4},0_{\IF_4}\}=\{0_{\IF_4},1_{\IF_4}\}$ [/mm] nur zwei Elemente!
Leopold_Gast scheint absolut Recht zu haben: Du verwechselst anscheinend den Ring [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] mit dem Körper [mm] $\IF_4$.
[/mm]
> Weil ja folgende Körperelemente identisch sind : 3 = -1 =
> -5, 2 = -2 = -4, 1 = -3 = -7, 0 = -4 = -8.
Alle diese Körperelemente sind nur komplizierte Darstellungen von 1 und 0.
Die "interessanteren" Körperelemente in [mm] $\IF_4$ [/mm] sind hingegen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $1+\alpha$.
[/mm]
> Ok angenommen 1 + 1 = 0 in [mm]\IF_{4}[/mm] dann wäre ja 3 = -1 =
> -5 auch 3 = 0 + 1 = 1 also 3 = 1.
So ist es auch.
> > - Es gibt ein weiteres Element [mm]\alpha\in\IF_4[/mm] mit
> > [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] in [mm]\IF_4[/mm] (dieses Element [mm]\alpha[/mm] stimmt
> > nicht mit 0 oder 1 überein, denn [mm]0^2=0\not=1=1+0[/mm] und
> > [mm]1^2=1\not=0=1+1[/mm] in [mm]\IF_2[/mm] und damit auch in [mm]\IF_4[/mm]).
>
> Ok die Begründung dafür, dass [mm]\alpha \not=[/mm] 0 oder 1 sein
> kann habe ich zwar verstanden, aber warum wird das dann
> nicht in der Beschreibung von [mm]\IF_{4}[/mm] ausgeschlossen?
Das ist eher eine didaktische Frage, oder? Man hätte explizit dazu schreiben können, dass [mm] $\alpha\not=0,1$ [/mm] gilt. Dein Dozent hielt dies offenbar für nicht notwendig, darauf explizit hinzuweisen.
> Also wie [mm]folgt:\IF_{p^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ a + [mm]b\alpha[/mm] | a, b [mm]\in \IF_{p}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\}$ für ein [mm]\alpha \in \IF_{p^{2}},[/mm]
>
> speziell für [mm]\IF_{4}[/mm] stand dann noch [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1 +
> [mm]\alpha[/mm]
Das möchte ich als Resultat der Algebra hinnehmen.
> Mir die Herkunft von [mm]\alpha^{2}[/mm] = 1 + [mm]\alpha[/mm] nach wie vor
> nicht klar, sorry :(.
Ebenfalls ein Resultat der Algebra.
> > > Ok also in diesem Beispiel Sei mein [mm]\alpha[/mm] = 3 und Element
> > > aus [mm]\IF_{4}.[/mm]
> > Nein, in [mm]\IF_4[/mm] gilt sicherlich nicht [mm]\alpha=3[/mm] (denn
> dann
> > wäre [mm]\alpha=1[/mm] und würde nicht der Gleichung
> > [mm]\alpha^2=1+\alpha[/mm] genügen).
>
> Genau, es genügt der Gleichung nicht, wenn [mm]\alpha[/mm] = 3
> daher hab ich es auch so gewählt, weils eben nicht
> ausgeschlossen wird.
> Warum darf man es nicht nehmen?
Doch, [mm] $\alpha=1+1+1$ [/mm] IST in [mm] $\IF_4$ [/mm] ausgeschlossen nach Wahl von [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2=1+\alpha$!
[/mm]
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