Primzahl/Restklassen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Mi 30.05.2007 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl [mm] \not=2 [/mm] und [mm] e\in\IN, e\ge1. [/mm] Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] \alpha^{2}=\overline{1} [/mm] in [mm] \IZ/p^{e}\IZ [/mm] nur die beiden Lösungen [mm] \alpha=\pm\overline{1} [/mm] hat. |
Hallo zusammen!
Ich hoffe ihr könnt mir bei der obigen Aufgabe helfen.
Wenn [mm] \alpha^{2}=\overline{1} [/mm] in [mm] \IZ/p^{e}\IZ [/mm] heißt das doch, dass [mm] \alpha^{2}:p^{e}=k*p^{e}+1
[/mm]
Kann ich damit anfangen oder ist das unsinnig?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Mi 30.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Lena!
> Sei p eine Primzahl [mm]\not=2[/mm] und [mm]e\in\IN, e\ge1.[/mm] Zeigen Sie,
> dass die Gleichung [mm]\alpha^{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/p^{e}\IZ[/mm]
> nur die beiden Lösungen [mm]\alpha=\pm\overline{1}[/mm] hat.
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich hoffe ihr könnt mir bei der obigen Aufgabe helfen.
>
> Wenn [mm]\alpha^{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/p^{e}\IZ[/mm] heißt das
> doch, dass [mm]\alpha^{2}:p^{e}=k*p^{e}+1[/mm]
>
> Kann ich damit anfangen oder ist das unsinnig?
Ich denke damit kommst du erstmal nicht weiter...
Versuch das ganze mal per Induktion nach $e$ zu zeigen: ist $e = 1$, so ist [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ein Koerper und damit gibt es hoechstens zwei Loesungen.
Von $e$ nach $e + 1$ nimmst du dir eine Loesung [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p^{e+1}}$ [/mm] und zeigst, dass [mm] $\alpha \equiv \pm [/mm] 1 [mm] \pmod{p^{e+1}}$ [/mm] ist; erstmal gilt ebenfalls [mm] $\alpha^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p^e}$, [/mm] und daraus folgt (per Induktion) [mm] $\alpha \equiv \pm [/mm] 1 [mm] \pmod{p^e}$, [/mm] also [mm] $\alpha \mp [/mm] 1 = k [mm] \cdot p^e$. [/mm] Schreibe jetzt $k = p [mm] \cdot k_1 [/mm] + [mm] k_2$ [/mm] mit $0 [mm] \le k_2 [/mm] < p$ und setz das wieder in die urspruengliche Gleichung [mm] $\alpha^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p^{e+1}}$ [/mm] ein. Damit solltest du weiterkommen.
Wenn nicht, schreib hier hin was du noch gemacht hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 30.05.2007 | | Autor: | LenaFre |
Hallo! Vielen Dank für deine Antwort!
Die Idee das mit Induktion über e zu lösen kann ich nachvollziehen.
Aber ich hab leide rnoch einige Verständnisschwierigkeiten:
[mm] \alpha^{2}=\overline{1} [/mm] in [mm] \IZ/p^{e}\IZ [/mm] hat Lsg [mm] a=\pm\overline{1} [/mm] warum kann ich das schreiben als [mm] \alpha^{2}\equiv1 mod(p^{e}) [/mm] und wie folgt daraus [mm] \alpha\equiv\pm1 (modp^{e}) [/mm] (setze ich ja als Induktionsannahme)
Induktionsschritt: Nehme [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha^{2}\equiv1 mod(p^{e+1})
[/mm]
Zeige: [mm] \alpha\equiv\pm1 mod(p^{e+1})
[/mm]
Es gilt nach Induktionsannahme: [mm] \alpha^{2}\equiv1 mod(p^{e}) [/mm] und [mm] \alpha\equiv\pm1 (modp^{e})
[/mm]
also: [mm] a\pm1=k*p^{e} [/mm] (wie komme ich darauf????)
Schreibe: [mm] k=p*k_{1}+k_{2} [/mm] mit [mm] 0\lek_{2} [/mm] < p (was ist [mm] k_{2}???)
[/mm]
und wie setze ich das in [mm] \alpha^{2}\equiv1mod(p^{e+1}) [/mm] ein ich kann dann keine schlussfolgerungen ziehen.
Ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen und vielen Dank für eure Mühe.
LG Lena
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Wenn [mm]\alpha^{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/p^{e}\IZ[/mm]
heißt das doch, dass
[mm]\alpha^{2}=1+k*p^{e}[/mm], also
[mm]\alpha^{2}-1 = k*p^{e}[/mm] oder
[mm](\alpha-1)(\alpha+1)= k*p^{e}[/mm]
Da p die rechte Seite teilt, teilt p auch die linke, und da p Primzahl ist, teilt p [mm] \alpha-1 [/mm] oder [mm] \alpha-1 [/mm] (oder beide).
Also ist [mm] \alpha-1 [/mm] = r*p oder [mm] \alpha+1=s*p [/mm] und damit
[mm] \alpha= [/mm] 1 + r*p oder [mm] \alpha [/mm] = -1 + s*p und damit
[mm] \alpha= \overline{1} [/mm] oder [mm] \alpha= \overline{-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:00 Do 31.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn [mm]\alpha^{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/p^{e}\IZ[/mm]
> heißt das doch, dass
> [mm]\alpha^{2}=1+k*p^{e}[/mm], also
> [mm]\alpha^{2}-1 = k*p^{e}[/mm] oder
> [mm](\alpha-1)(\alpha+1)= k*p^{e}[/mm]
> Da p die rechte Seite
> teilt, teilt p auch die linke, und da p Primzahl ist, teilt
> p [mm]\alpha-1[/mm] oder [mm]\alpha-1[/mm] (oder beide).
>
> Also ist [mm]\alpha-1[/mm] = r*p oder [mm]\alpha+1=s*p[/mm] und damit
> [mm]\alpha=[/mm] 1 + r*p oder [mm]\alpha[/mm] = -1 + s*p und damit
> [mm]\alpha= \overline{1}[/mm] oder [mm]\alpha= \overline{-1}[/mm]
Modulo $p$ schon. Aber nicht modulo [mm] $p^e$.
[/mm]
LG Felix
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Ja, da hab ich nicht aufgepasst, hab mich auch schon gewundert, warum p nicht 2 sein darf. Also noch mal:
Wenn $ [mm] \alpha^{2}=\overline{1} [/mm] $ in $ [mm] \IZ/p^{e}\IZ [/mm] $
heißt das doch, dass
$ [mm] \alpha^{2}=1+k\cdot{}p^{e} [/mm] $, also
$ [mm] \alpha^{2}-1 [/mm] = [mm] k\cdot{}p^{e} [/mm] $ oder
$ [mm] (\alpha-1)(\alpha+1)= k\cdot{}p^{e} [/mm] $
Da p die rechte Seite teilt, teilt p auch die linke, und da p Primzahl ist, teilt p $ [mm] \alpha-1 [/mm] $ oder $ [mm] \alpha-1 [/mm] $ (oder beide).
------------------------------------
Bis hier ist alles wie zuvor, aber:
Da [mm] \alpha+1 [/mm] und [mm] \alpha-1 [/mm] nur den Abstand 2 voneinander haben und e > 2 ist (!!!), kann e nur einen der beiden Faktoren teilen.
Nun war ja [mm] (\alpha-1)(\alpha+1)= k\cdot{}p^{e}, [/mm] d.h. nicht nur p, sondern sogar [mm] p^{e} [/mm] teilt die linke Seite. Da aber, wie gerade festgestellt, p nur einen der beiden Faktoren teilt, kann keiner der in [mm] p^{e} [/mm] steckenden ps den anderen Faktor teilen, also teilt ganz [mm] p^{e} [/mm] entweder [mm] (\alpha-1) [/mm] oder [mm] (\alpha+1).
[/mm]
Jetzt weiter wie gehabt (nur mit [mm] p^{e} [/mm] statt p):
-----------------------
Also ist $ [mm] \alpha-1 [/mm] $ = [mm] r*p^{e} [/mm] oder $ [mm] \alpha+1=s\cdot{}p^{e} [/mm] $ und damit
$ [mm] \alpha= [/mm] $ 1 + [mm] r*p^{e} [/mm] oder $ [mm] \alpha [/mm] $ = -1 + [mm] s*p^{e} [/mm] und damit
$ [mm] \alpha= \overline{1} [/mm] $ oder $ [mm] \alpha= \overline{-1} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 02.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja, da hab ich nicht aufgepasst, hab mich auch schon
> gewundert, warum p nicht 2 sein darf. Also noch mal:
>
>
> Wenn [mm]\alpha^{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/p^{e}\IZ[/mm]
> heißt das doch, dass
> [mm]\alpha^{2}=1+k\cdot{}p^{e} [/mm], also
> [mm]\alpha^{2}-1 = k\cdot{}p^{e}[/mm] oder
> [mm](\alpha-1)(\alpha+1)= k\cdot{}p^{e}[/mm]
> Da p die rechte Seite
> teilt, teilt p auch die linke, und da p Primzahl ist, teilt
> p [mm]\alpha-1[/mm] oder [mm]\alpha-1[/mm] (oder beide).
>
> ------------------------------------
> Bis hier ist alles wie zuvor, aber:
>
> Da [mm]\alpha+1[/mm] und [mm]\alpha-1[/mm] nur den Abstand 2 voneinander
> haben und e > 2 ist (!!!), kann e nur einen der beiden
> Faktoren teilen.
Du meinst $p$ und nicht $e$ :)
>
> Nun war ja [mm](\alpha-1)(\alpha+1)= k\cdot{}p^{e},[/mm] d.h. nicht
> nur p, sondern sogar [mm]p^{e}[/mm] teilt die linke Seite. Da aber,
> wie gerade festgestellt, p nur einen der beiden Faktoren
> teilt, kann keiner der in [mm]p^{e}[/mm] steckenden ps den anderen
> Faktor teilen, also teilt ganz [mm]p^{e}[/mm] entweder [mm](\alpha-1)[/mm]
> oder [mm](\alpha+1).[/mm]
>
> Jetzt weiter wie gehabt (nur mit [mm]p^{e}[/mm] statt p):
> -----------------------
> Also ist [mm]\alpha-1[/mm] = [mm]r*p^{e}[/mm] oder [mm]\alpha+1=s\cdot{}p^{e}[/mm]
> und damit
> [mm]\alpha=[/mm] 1 + [mm]r*p^{e}[/mm] oder [mm]\alpha[/mm] = -1 + [mm]s*p^{e}[/mm] und damit
> [mm]\alpha= \overline{1}[/mm] oder [mm]\alpha= \overline{-1}[/mm]
Stimmt, ist ja viel einfacher so :)
Dafuer funktioniert meine Loesung auch fuer [mm] $\alpha^2 [/mm] = a$ fuer ein beliebiges $a$ 
Falles jemanden interessiert: man kann das ganze uebrigens auch allgemeiner machen, in dem man das Henselsche Lemma anwendet. Da braucht man naemlich gerade, dass $p [mm] \neq [/mm] 2$ ist, da es sich sonst nicht anwenden laesst. (Das Henselsche Lemma besagt in diesem Spezialfall: ist $f [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] mit $f(a) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$ [/mm] und $f'(a) [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$, [/mm] so gibt es zu jedem $e > 0$ genau ein $a' [mm] \in \IZ/p^e\IZ$ [/mm] mit $f(a') = 0 [mm] \in \IZ/p^e\IZ$. [/mm] Hier ist $f = [mm] x^2 [/mm] - 1$.)
LG Felix
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