Primzahl ganze Zahlen teilen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei $p$ eine Primzahl und seien $a,b$ in [mm] $\b{Z}$ [/mm] so dass $p|ab$. Man zeige, dass entweder $p|a$ oder $p|b$ gilt. |
Hallo,
gegeben:
$a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] und $p|ab$ mit [mm] $\forall [/mm] q [mm] \in \IN \ne [/mm] p : ggT(p,q) = 1$
bzw. [mm] $\tilde{a}\tilde{b}=0$ [/mm] in [mm] $\b{F}_{p}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] ab [mm] \equiv [/mm] 0 mod(p) $
[mm] $\Rightarrow [/mm] p|ab [mm] \Rightarrow [/mm] p|a [mm] \vee [/mm] p|b$
Ist das so richtig?
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei [mm]p[/mm] eine Primzahl und seien [mm]a,b[/mm] in [mm]\b{Z}[/mm] so dass [mm]p|ab[/mm].
> Man zeige, dass entweder [mm]p|a[/mm] oder [mm]p|b[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> gegeben:
> [mm]a,b \in \IZ[/mm] und [mm]p|ab[/mm] mit [mm]\forall q \in \IN \ne p : ggT(p,q) = 1[/mm]
>
> bzw. [mm]\tilde{a}\tilde{b}=0[/mm] in [mm]\b{F}_{p}[/mm]
Ja, alles richtig.
> [mm]\Rightarrow ab \equiv 0 mod(p)[/mm]
> [mm]\Rightarrow p|ab \Rightarrow p|a \vee p|b[/mm]
Ich sehe nicht, dass du hier was gezeigt hast. Verwende doch, dass sich jede Zahl aus [mm] $\IZ$ [/mm] als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben lässt, also gibt es Primzahlen [mm] $p_1,\ldots,p_k$ [/mm] und natürliche Zahlen [mm] $n_1,\ldots,n_k$, [/mm] sodass [mm] $ab=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\ldots p_k^{n_k}$, [/mm] denn es ist ja $ab [mm] \in \IZ$. [/mm] Nun gilt: p teilt ab nach Voraussetzung, also muss p unter den Primzahlen [mm] $p_1,\ldots,p_n$ [/mm] sein (warum?).
Wenn du das hast, kann du recht einfach auf $p|a$ oder $p|b$ schließen.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:31 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Produkt aus Primzahlpotenzen
[mm] $\forall [/mm] n,k, p [mm] \in \IZ$ [/mm] , $q [mm] \in \IN \ne [/mm] p : ggT(q,p) = 1$
$ab=0mod(p) [mm] \wedge ab=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}} [/mm] $
> warum ?
Weil p ein Primfaktor ist und deswegen auch Mindestfaktor des Primzahlpotenzprodukt sein muss.
[mm] $\Rightarrow p|p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] p|ab [mm] \Rightarrow [/mm] p| a [mm] \vee [/mm] p |b$
So??
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Lippel |
> Hallo,
>
> > Produkt aus Primzahlpotenzen
>
>
> [mm]\forall n,k, p \in \IZ[/mm] , [mm]q \in \IN \ne p : ggT(q,p) = 1[/mm]
>
> [mm]ab=0mod(p) \wedge ab=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}[/mm]
>
> > warum ?
>
> Weil p ein Primfaktor ist und deswegen auch Mindestfaktor
> des Primzahlpotenzprodukt sein muss.
Wenn du damit meinst, dass p im Produkt [mm] $p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$ [/mm] vorkommen muss, d.h. dass eine der Primzahlen [mm] $p_i=p$ [/mm] ist, dann stimmt das.
> [mm]\Rightarrow p|p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow p|ab \Rightarrow p| a \vee p |b[/mm]
Da ist wieder nichts gezeigt, warum soll jetzt p a oder b teilen? Du hast [mm]\Rightarrow p|ab \Rightarrow p| a \vee p |b[/mm] ohne Begründung hingschrieben, dabei sollst du genau das zeigen.
Du musst dich nun fragen, was du über a und b aussagen kannst, wenn du weißt dass [mm] $ab=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$, [/mm] wobei [mm] $p_i=p$ [/mm] ist für EIN $i$.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> immer noch nichts gezeigt
> was kannst dü über a und b aussagen
dass sie das Primzahlpotenzprodukt auch teilen??
$ [mm] \forall [/mm] n,k, p [mm] \in \IZ [/mm] $, $ q [mm] \in \IN \ne [/mm] p : ggT(q,p) = 1 $
$ ab=0mod(p) [mm] \wedge ab=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow p|p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}} \wedge [/mm] ab| [mm] p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] p|ab [mm] \Rightarrow [/mm] p|a [mm] \vee [/mm] p|b $
> LG
Danke.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 20.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schreiben [mm] a=p_1^{n1}.... p_1,..p_k [/mm] Prim
[mm] b=q_1^{n1}...
[/mm]
dann ab=....
dann erst schließen.
ich find nen Widerspruchsbeweis einfacher angenommen p teilt a nicht: a=nmod p [mm] n\ne0 [/mm] und p teilt b nicht also b=mod p
also a*b=m*n mod p und [mm] m*n\ne0 [/mm] mod p
Widerspruch
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 20.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> dann erst schliessen
> Widerspruchsbeweis
Ok.
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
|
