Primzahl zwischen n und n! < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] n\ge3 [/mm] eine natürliche Zahl. Es ist zu beweisen, dass zwischen n und n! stets eine Primzahl liegt. |
Hallo Leute,
Also je größer n wird, desto offensichtlicher ist diese Aussage!
Hmm ich hab mir 3! 4! und 5! angeschaut und gesehn das n!-1 immer eine Primzahl ist. Jetzt muss ich wahrscheinlich zeigen dass es sich erstens dabei um eine Prim handelt und zweitens das sie >n ist, dann wäre doch alles gezeigt oder? Aber wie zeig ich dies konkret?
Grüße, Daniel
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Hallo,
> Sei [mm]n\ge3[/mm] eine natürliche Zahl. Es ist zu beweisen, dass
> zwischen n und n! stets eine Primzahl liegt.
> Hallo Leute,
>
> Also je größer n wird, desto offensichtlicher ist diese
> Aussage!
> Hmm ich hab mir 3! 4! und 5! angeschaut und gesehn das
> n!-1 immer eine Primzahl ist.
Achja, intressant. Teile doch mal 8!-1 durch 23, dann wirst du sehen, dass dem nicht der Fall ist.
Für n=3 kannst du einfach die 5 nehmen, ansonsten multiplizier doch mal alle Primzahlen die [mm] \le [/mm] n sind miteinander und addiere darauf 1, also quasi die Zahl 1+ [mm] \produkt_{i=1}^{k}p_{i}, [/mm] wobei die [mm] p_{i} [/mm] alle Primzahlen zwischen 2 und n sein sollen. So ähnlich hat der gute alte Euklid schon gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss. Außerdem ist die so entstehende Zahl dann sicher echt kleiner als n!, wenn n>3 ist .
Viele Grüße
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> Für n=3 kannst du einfach die 5 nehmen, ansonsten
Ich darf 5 doch nicht einfach nehmen, die 5 gilt es doch auch zu beweisen.
> multiplizier doch mal alle Primzahlen die [mm]\le[/mm] n sind
Yup, im Prinzip eine gute Idee..funktioniert aber nicht mit n=3
> miteinander und addiere darauf 1, also quasi die Zahl 1+
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}p_{i},[/mm] wobei die [mm]p_{i}[/mm] alle Primzahlen
> zwischen 2 und n sein sollen.
Ja, das Problem ist doch hier der sich stets dynamisch verändernde Laufindex in Abhängigkeit von n? Wie soll man das zeigen?
> So ähnlich hat der gute alte
> Euklid schon gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen
> geben muss. Außerdem ist die so entstehende Zahl dann
> sicher echt kleiner als n!, wenn n>3 ist .
ja weil die Vielfachen der Primfaktoren sind ja noch in n! inbegriffen sind, sozusagen...
> Viele Grüße
Hm, hab anscheinend noch nicht ganz den Sachverhalt durchblickt, sorry^^
Grüße BeeRe
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Hallo,
> > Für n=3 kannst du einfach die 5 nehmen, ansonsten
>
> Ich darf 5 doch nicht einfach nehmen, die 5 gilt es doch
> auch zu beweisen.
>
Naja, der Beweis für die 3 geht doch einfach: 3< 5 (was offensichtlich eine Primzahl ist) <6 =3!
> > multiplizier doch mal alle Primzahlen die [mm]\le[/mm] n sind
>
> Yup, im Prinzip eine gute Idee..funktioniert aber nicht mit
> n=3
Gerade deshalb hab ich die 3 ja als Spezialfall rausgenommen und gesagt, da nimmst einfach die 5 als Primzahl zwischen 3 und 3!=6, weil das für alle andern n>3 gilt...
> > miteinander und addiere darauf 1, also quasi die Zahl 1+
> > [mm]\produkt_{i=1}^{k}p_{i},[/mm] wobei die [mm]p_{i}[/mm] alle Primzahlen
> > zwischen 2 und n sein sollen.
>
> Ja, das Problem ist doch hier der sich stets dynamisch
> verändernde Laufindex in Abhängigkeit von n? Wie soll man
> das zeigen?
Wieso ist das ein Problem und was willst du da zeigen, du betrachtest diese von mir genannte Zahl einfach, die immer eine Primzahl ist...
>
> > So ähnlich hat der gute alte
> > Euklid schon gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen
> > geben muss. Außerdem ist die so entstehende Zahl dann
> > sicher echt kleiner als n!, wenn n>3 ist .
>
> ja weil die Vielfachen der Primfaktoren sind ja noch in n!
> inbegriffen sind, sozusagen...
>
ja, und die Faktoren, die keine Primzahlen sind, bleiben außen vor, wie z.B die 4.
> Hm, hab anscheinend noch nicht ganz den Sachverhalt
> durchblickt, sorry^^
Viele Grüße
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Ok, bedeutet das also die Existens von 1+ [mm] \produkt_{i=1}^{k}p_{i} [/mm] die Lösung darstellt, das es eine Primzahl zwischen N und N! gibt?
Und woher weiss ich wieviele Primfaktoren zwischen N und N! sind, um den Laufindex k zubestimmen, denn der ist doch immer variable..? Und wozu ist dieses +1 so nützlich, bzw unabdingbar, oder könnte ich es nicht einfach weglassen?
Zitat:
"Wieso ist das ein Problem und was willst du da zeigen, du betrachtest diese von mir genannte Zahl einfach, die immer eine Primzahl ist... "
Nun: [mm] z=\produkt_{i=1}^{k}p_{i} [/mm] ist offentlich eine aus Primzahlen zusammengesetzte Zahl und keine Primzahl,...irgendwie verstehe ich etwas gewaltig falsch?
Oder ist eine Zahl die nur aus einmalig vorkommenden Primfaktoren +1 wiederum eine Prim? Wieso wäre das so? angenommen n=5
dann gäbe es die Primfaktoren 2*3*5 + 1 = 31 ....und 2<31<120=5!
ok für n=6 würde es auch funktionieren, aber bei n=7 ...funktioniert ja auch, wenn das tatsächlich immer stimmt, wie genial wäre das denn bitte, das wäre eine Gesetzmäßigkeit für ein paar Primzahlen, krass...Hmm mein doofes Brett vorm Kopf schmerzt trotzdem gewaltig, weil ich gerade nicht erklären kann warum das so ist, wie es ist, schuldige.. Euklid ist ein Genie.
Also [mm] 2<1+\produkt_{i=1}^{k}p_{i}
Jetzt müsste man, wie gesagt, nur noch zeigen, dass dieses Konstrukt immer eine Primzahl ist, oder?
Einen schönen Abend noch & Liebe Grüße, die BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 14.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Blaubeere!
Schau dir doch einfach ![[]](/images/popup.gif) den euklidischen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen an.
Das sollte einige deiner Fragen schon klären.
> Ok, bedeutet das also die Existens von
> [mm]1+\produkt_{i=1}^{k}p_{i}=:P[/mm] die Lösung darstellt, das es eine
> Primzahl zwischen N und N! gibt?
Ja
> Und woher weiss ich wieviele Primfaktoren zwischen N und
> N! sind, um den Laufindex k zubestimmen, denn der ist doch
> immer variable..?
Die Anzahl der Primzahlen <n ist doch aber nicht relevant. Wichtig ist, das sie endlich und P prim ist.
Und wozu ist dieses +1 so nützlich, bzw
> unabdingbar, oder könnte ich es nicht einfach weglassen?
>
Die +1 auf gar keinen Fall weglassen - dann ist doch P nicht mehr prim oder??
> Zitat:
> "Wieso ist das ein Problem und was willst du da zeigen, du
> betrachtest diese von mir genannte Zahl einfach, die immer
> eine Primzahl ist... "
>
> Nun: [mm]z=\produkt_{i=1}^{k}p_{i}[/mm] ist offentlich eine aus
> Primzahlen zusammengesetzte Zahl und keine
> Primzahl,...irgendwie verstehe ich etwas gewaltig falsch?
> Oder ist eine Zahl die nur aus einmalig vorkommenden
> Primfaktoren +1 wiederum eine Prim? Wieso wäre das so?
> angenommen n=5
> dann gäbe es die Primfaktoren 2*3*5 + 1 = 31 ....und
> 2<31<120=5!
> ok für n=6 würde es auch funktionieren, aber bei n=7
> ...funktioniert ja auch, wenn das tatsächlich immer
> stimmt, wie genial wäre das denn bitte, das wäre eine
> Gesetzmäßigkeit für ein paar Primzahlen, krass...Hmm
> mein doofes Brett vorm Kopf schmerzt trotzdem gewaltig,
> weil ich gerade nicht erklären kann warum das so ist, wie
> es ist, schuldige..Müsste ich das nicht zusätzlich noch
> beweisen? Euklid ist ein Genie.
>
> Einen schönen Abend noch & Liebe Grüße, die BeeRe
Wie gesagt: Der Euklidische Beweis sollte vieles erklären.
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Sa 14.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
> > Ok, bedeutet das also die Existens von
> > [mm]1+\produkt_{i=1}^{k}p_{i}=:P[/mm] die Lösung darstellt, das es
> eine
> > Primzahl zwischen N und N! gibt?
>
> Ja
Sorry das war mein Fehler - nicht zwangsweise, allerdings wenn du von dieser Zahl P die Primfaktorzerlegung noch bestimmst, dann ja, denn diese ist ja [mm] \le [/mm] P und in jener kann keiner der Primfaktoren [mm] \le [/mm] n auftreten .
Ich geb dir mal ein Bsp. für das dieses P keine Primzahl ist:
Wenn du n=13 nimmst, wäre P= 1+ 2*3*5*7*11*13=30031 =59*509 und somit keine Primzahl, allerdings hättest du damit mit 59 und 509 zwei weitere Primzahlen gefunden, die größer n und kleiner n! sind.
Viele Grüße
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