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| Aufgabe | | Ein aus Primzahlen p,q,t bestehendes Zahlentripel (p,q,t) heißt Primzahldrilling, wenn p+2=q und q+2=t gilt. Bestimmen Sie alle Primzahldrillinge. Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Hallo Leute,
Das Zahlentripel besteht offentsichtlich aus 3 ungerade Zahlen "weil" es sich ja bei p,q,t um Primzahlen handelt. Das heißt, es gibt nur ein Zahlentripel mit (3,5,7) da von drei aufeinander folgende ungeraden Zahlen immer eine darunter ist die durch drei teilbar ist. Das ist zwar bei (3,5,7) auch der Fall, aber dort gilt die Ausnahme da 3 selbst eine Prim ist.
Beweis, dass 3 aufeinander Folgende ungerade Zahlen durch 3 teilbar sind:
p=2k-1
q=2(k+1)-1
t=2(k+2)-1
Vermutung 3 | p+q+t
Beweis:
3| 2+k-1+2k+2-1+2k+4-1
3| 6k+3
3| 3(2k+1)
Hiermit habe ich nun gezeigt, dass die Summe von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen durch 3 teilbar ist, heisst dass aber auch direkt das eine unter diesen 3 Zahlen selber durch 3 teilbar war? Die schließe ich logisch darauf. Ich spüre ein Brett vor meinem Kopf^^...
Müsste ich nicht noch nen kleinen zusätzlich Beweis anfertig? Oder reicht das hier?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ein aus Primzahlen p,q,t bestehendes Zahlentripel (p,q,t)
> heißt Primzahldrilling, wenn p+2=q und q+2=t gilt.
> Bestimmen Sie alle Primzahldrillinge. Beweisen Sie Ihre
> Antwort.
>
> Hallo Leute,
>
> Das Zahlentripel besteht offentsichtlich aus 3 ungerade
> Zahlen "weil" es sich ja bei p,q,t um Primzahlen handelt.
> Das heißt, es gibt nur ein Zahlentripel mit (3,5,7) da von
> drei aufeinander folgende ungeraden Zahlen immer eine
> darunter ist die durch drei teilbar ist. Das ist zwar bei
> (3,5,7) auch der Fall, aber dort gilt die Ausnahme da 3
> selbst eine Prim ist.
Genau.
> Beweis, dass 3 aufeinander Folgende ungerade Zahlen durch 3
> teilbar sind:
>
> p=2k-1
> q=2(k+1)-1
> t=2(k+2)-1
>
> Vermutung 3 | p+q+t
>
> Beweis:
>
> 3| 2+k-1+2k+2-1+2k+4-1
> 3| 6k+3
> 3| 3(2k+1)
>
> Hiermit habe ich nun gezeigt, dass die Summe von drei
> aufeinander folgenden ungeraden Zahlen durch 3 teilbar ist,
> heisst dass aber auch direkt das eine unter diesen 3 Zahlen
> selber durch 3 teilbar war? Die schließe ich logisch
> darauf. Ich spüre ein Brett vor meinem Kopf^^...
> Müsste ich nicht noch nen kleinen zusätzlich Beweis
> anfertig? Oder reicht das hier?
Nur weil die Summe durch 3 teilbar ist, muss noch lange nicht einer der Summanden durch 3 teilbar sein.
Schau dir $p, q, t$ doch mal modulo 3 an. Folgere, dass alle modulo 3 verschiedenen Rest lassen, und somit ein Rest 0 sein muss.
LG Felix
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> > Beweis, dass 3 aufeinander Folgende ungerade Zahlen durch 3
> > teilbar sind:
> >
> > p=2k-1
> > q=2(k+1)-1
> > t=2(k+2)-1
> >
> > Vermutung 3 | p+q+t
> >
> > Beweis:
> >
> > 3| 2+k-1+2k+2-1+2k+4-1
> > 3| 6k+3
> > 3| 3(2k+1)
> >
> > Hiermit habe ich nun gezeigt, dass die Summe von drei
> > aufeinander folgenden ungeraden Zahlen durch 3 teilbar ist,
> > heisst dass aber auch direkt das eine unter diesen 3 Zahlen
> > selber durch 3 teilbar war? Die schließe ich logisch
> > darauf. Ich spüre ein Brett vor meinem Kopf^^...
> > Müsste ich nicht noch nen kleinen zusätzlich Beweis
> > anfertig? Oder reicht das hier?
>
> Nur weil die Summe durch 3 teilbar ist, muss noch lange
> nicht einer der Summanden durch 3 teilbar sein.
die Summe von 3 ungeraden aufeinanderfolgenden Zahlen ist sowohl durch 3 teilbar, als auch ein Summand dabei ist, welcher durch 3 teilbar ist. Wieso darf ich dann nicht "Rückschlüsse" ziehen?
> Schau dir [mm]p, q, t[/mm] doch mal modulo 3 an. Folgere, dass alle
> modulo 3 verschiedenen Rest lassen, und somit ein Rest 0
> sein muss.
Okay, sagen wir mein erster Beweis bringt mich nicht weiter!Dann untersuch ich jetzt jeweils die Reste der 3 ungeraden Zahlen:
3|2k+1 => [mm] 2k+1=d_{1}*3+r_{1}
[/mm]
3|2k+3 => [mm] 2k+3=d_{2}*3+r_{2}
[/mm]
3|2k+5 => [mm] 2k+5=d_{3}*3+r_{3}
[/mm]
Bei 3 unterschiedlichen Zahlen müsste mindestens einmal der Rest 0 auftauchen. In meinem Fall unterscheiden sich die Reste vollkommen.
[mm] r_{1}\not=r_{2}\not=r_{3}
[/mm]
Ich hab nun [mm] r_{1}=r_{2} [/mm] gesetzt um einen Wiederspruch zufinden, aber
schließlich komme auf [mm] 0=1-d_{2}+d_{1}. [/mm] Was sagt mir das? Bin ich überhaupt noch auf richtigen Wege?
Grüße BeeRe
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Hallo Blaub33r3,
> > > Hiermit habe ich nun gezeigt, dass die Summe von drei
> > > aufeinander folgenden ungeraden Zahlen durch 3 teilbar ist,
> > > heisst dass aber auch direkt das eine unter diesen 3 Zahlen
> > > selber durch 3 teilbar war? Die schließe ich logisch
> > > darauf. Ich spüre ein Brett vor meinem Kopf^^...
> > > Müsste ich nicht noch nen kleinen zusätzlich
> Beweis
> > > anfertig? Oder reicht das hier?
> >
> > Nur weil die Summe durch 3 teilbar ist, muss noch lange
> > nicht einer der Summanden durch 3 teilbar sein.
>
> die Summe von 3 ungeraden aufeinanderfolgenden Zahlen ist
> sowohl durch 3 teilbar, als auch ein Summand dabei ist,
> welcher durch 3 teilbar ist. Wieso darf ich dann nicht
> "Rückschlüsse" ziehen?
4+7+10=21 Summe durch 3 teilbar, aber kein Summand
3+7+10=20 Summe nicht durch 3 teilbar, aber ein Summand
3+6+10=19 Summe nicht durch 3 teilbar, aber zwei Summanden
Dein "Rückschluss" ist nicht logisch hinreichend begründet. Du wirst anders vorgehen müssen, wie Felix schon gesagt hat, samt Richtungsangabe.
> > Schau dir [mm]p, q, t[/mm] doch mal modulo 3 an. Folgere, dass alle
> > modulo 3 verschiedenen Rest lassen, und somit ein Rest 0
> > sein muss.
>
> Okay, sagen wir mein erster Beweis bringt mich nicht
> weiter!Dann untersuch ich jetzt jeweils die Reste der 3
> ungeraden Zahlen:
>
> 3|2k+1 => [mm]2k+1=d_{1}*3+r_{1}[/mm]
> 3|2k+3 => [mm]2k+3=d_{2}*3+r_{2}[/mm]
> 3|2k+5 => [mm]2k+5=d_{3}*3+r_{3}[/mm]
>
> Bei 3 unterschiedlichen Zahlen müsste mindestens einmal
> der Rest 0 auftauchen. In meinem Fall unterscheiden sich
> die Reste vollkommen.
Wieso gehst Du denn schon davon aus, dass 3 jede der drei (vermuteten) Primzahlen teilt?
Du nimmst die kleinste allgemein als 2k+1 ein. [mm] r_1 [/mm] kann dann 0,1 oder 2 sein. Diese drei Fälle musst Du einzeln untersuchen:
1) [mm] r_1=0 \Rightarrow [/mm] 2k+1 nicht prim
2) [mm] r_1=1 \Rightarrow r_2=?, r_3=?
[/mm]
3) [mm] r_1=2 \Rightarrow r_2=?, r_3=?
[/mm]
Wenn in Fall 2 und 3 jeweils mindestens einer der beiden Dreierreste [mm] r_2 [/mm] oder [mm] r_3 [/mm] Null ist, bist Du fertig.
> Bin ich überhaupt noch auf richtigen Wege?
Naja, nicht ganz, aber in Sichtweite.
> Grüße BeeRe
lg
reverend
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Hallo,
Ich glaube meine Aussage wurde falsch verstanden.
> > die Summe von 3 ungeraden aufeinanderfolgenden Zahlen ist
> > sowohl durch 3 teilbar, als auch ein Summand dabei ist,
> > welcher durch 3 teilbar ist. Wieso darf ich dann nicht
> > "Rückschlüsse" ziehen?
9+11+13 = 33 Summe durch 3 teilbar und ein Summand
17+19+21= 57 Summe durch 3 teilbar und ein Summand ebenso...
> 4+7+10=21 Summe durch 3 teilbar, aber kein Summand
> 3+7+10=20 Summe nicht durch 3 teilbar, aber ein Summand
> 3+6+10=19 Summe nicht durch 3 teilbar, aber zwei
> Summanden
Wie oben erwähnt nicht 3 aufeinander folgende ungeraden Zahlen.
Darf ich daraus dann doch Rückschlüsse ziehen?
Liebe Grüße BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Beispiele sind richtig aber zeigen nichts.
Du musst doch zeigen, dass ein Summand durch 3 tb ist. und dann bist du wieder an der Stelle: von 3 aufeinanderfolgenden ug. Zahlen ist eine durch 3 tb. wozu also erst die Summe betrachten.
(nebenbei 2,3,5 ist auch ein Tripel)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Do 05.11.2009 | | Autor: | zeynel43 |
Hallo
Natürlich ist 2,3,5 auch ein primzahldrilling. Aber in der Aufgabenstellung heißt es
p+2=q
q+2=t
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Fr 06.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Natürlich ist 2,3,5 auch ein primzahldrilling. Aber in
> der Aufgabenstellung heißt es
> p+2=q
> q+2=t
>
>
Hallo,
es gibt 3 mögliche Fälle:
Fall 1: p [mm] \equiv [/mm] 0 mod 3 (gilt nur für p=3) [mm] \Rightarrow [/mm] eine der drei Zahlen (hier p) ist durch 3 teilbar
Fall 2: p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \Rightarrow [/mm] q=p+2 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 3
Fall 3: p [mm] \equiv [/mm] 2 mod 3 [mm] \Rightarrow [/mm] t=p+4 [mm] \equiv [/mm] 6 mod 3
Gruß Abakus
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