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| Aufgabe | | Finden Sie alle Zahlen p für für welche p, p+2, p+6, p+8, p+12 und p+14 prim sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle!
Ich habe die genannte Aufgabe zu lösen.
Bisher habe ich herausgefunden, dass es nur die Zahl 5 gibt, für die die Bedingunen erfüllt sind.
Meine Frage lautet nun: Warum ist es nur die 5 und wie kann ich das Ergebnis beweisen?
Ich habe einfach mal Primzahlen eingesetzt und festgestellt, dass alle Summen p+x, mit Ausnahme der 5, irgendwann ein Vielfaches von 5 sind, sodass die Ergebnisse nicht mehr prim sind.
Hat das vielleicht was mit den Primzahlzwillingen zu tun? Es gibt nur die 5, die ein Primzahlziwlling ist (d.h. dass die Abstände zu der nächst kleineren sowie nächst größerern PZ 2 ist). Hinzu kommt noch, dass die 5 auch ein Primzahldrilling (5,7,11) unf -vierling (5,7,11,13) ist!
Ich würde mich über jegliche Denkanstöße und Hilfe sehr freuen :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 15.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie alle Zahlen p für für welche p, p+2, p+6, p+8,
> p+12 und p+14 prim sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo an alle!
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> Ich habe die genannte Aufgabe zu lösen.
> Bisher habe ich herausgefunden, dass es nur die Zahl 5
> gibt, für die die Bedingunen erfüllt sind.
>
> Meine Frage lautet nun: Warum ist es nur die 5 und wie kann
> ich das Ergebnis beweisen?
>
> Ich habe einfach mal Primzahlen eingesetzt und
> festgestellt, dass alle Summen p+x, mit Ausnahme der 5,
> irgendwann ein Vielfaches von 5 sind, sodass die Ergebnisse
> nicht mehr prim sind.
> Hat das vielleicht was mit den Primzahlzwillingen zu tun?
Nein,
eher mit den Resten, die diese 6 Zahlen bei Teilung durch 5 lassen.
Die Zahlen p, p+6(=p+5+1), p+2, p+8(=p+5+3) und p+14(=p+10+4) lassen bei Teilung durch 5 alle 5 möglichen Reste (einschließlich Rest 0). Eine dieser 5 Zahlen ist also durch 5 teilbar.
Gruß Abakus
> Es gibt nur die 5, die ein Primzahlziwlling ist (d.h. dass
> die Abstände zu der nächst kleineren sowie nächst größerern
> PZ 2 ist). Hinzu kommt noch, dass die 5 auch ein
> Primzahldrilling (5,7,11) unf -vierling (5,7,11,13) ist!
>
> Ich würde mich über jegliche Denkanstöße und Hilfe sehr
> freuen :)
>
> Liebe Grüße
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Habe ich es richtig verstanden, dass es was mit der Teilbarkeit durch 5 zu tun hat, dass es für die anderen Primzahlen nicht gilt?
Ich habe mich vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt :) Ich meinte es so, dass alle weiteren Primzahlen, wenn man nur ihre Einer betrachtet, und die geforderten Zahlen addiert immer ein Vielfaches von 5 herauskommt und somit die Bedingung, dass alle Zahlen prim sein sollen, nicht erfüllt ist.
z.B. 7+ 8=15
11+14=25
13+ 2=15
19+ 6=25
13+12=25
d.h. dass jede der zu addierenden Zahlen (auch für größere PZ) irgendwann eine Zahl liefert, die auf 5 oder 0 endet.
Aber was mir noch unklar ist, was das mit der Zahl 5 zu tun hat...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mo 16.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen May-Britt!
> Habe ich es richtig verstanden, dass es was mit der
> Teilbarkeit durch 5 zu tun hat, dass es für die anderen
> Primzahlen nicht gilt?
Das hast du völlig richtig verstanden.
> Ich habe mich vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt :)
> Ich meinte es so, dass alle weiteren Primzahlen, wenn man
> nur ihre Einer betrachtet, und die geforderten Zahlen
> addiert immer ein Vielfaches von 5 herauskommt und somit
> die Bedingung, dass alle Zahlen prim sein sollen, nicht
> erfüllt ist.
> z.B. 7+ 8=15
> 11+14=25
> 13+ 2=15
> 19+ 6=25
> 13+12=25
> d.h. dass jede der zu addierenden Zahlen (auch für größere
> PZ) irgendwann eine Zahl liefert, die auf 5 oder 0 endet.
Ich finde, daß du dich hier immer noch nicht so richtig glücklich ausgedrückt hast. Abakus hat dir vorgeführt, daß von den 5 Zahlen (p+12 brauchst du gar nicht) eine durch 5 teilbar ist. Wenn dir die abstrakte Mathe-Sprache noch nicht vertraut ist, dann mach dir eine Tabelle. p selbst hat 5 Möglichkeiten für den Rest, nämlich 0 bis 4. Welchen Rest haben dann die anderen Zahlen? Das könntest du in eine Liste eintragen und würdest merken: Eine von den Zahlen hat immer den Rest 0. Rest 0 bedeutet, daß sie durch 5 teilbar ist. Nun sollen es aber alles Primzahlen sein, d. h. diese Zahl ist die 5 selbst. Das würde nur für p und p+2 gehen. Überleg dir selbst, daß nur p übrig bleibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Guten Morgen Dieter :o)
Vielen Dank für deine Erklärung.
ich habe nun noch ein paar Fragen:
Warum muss ich p+12 nicht näher betrachten? Weil der Rest 2 ist, wie für p+2?
Mir ist immer noch unklar, warum die Bedingungen nur für die 5 erfüllt sind?
Ich habe eine Tabelle angefertigt und festgestellt, wenn ich andere Primzahlen für p einsetze, die verschieden von 5 sind, dass das nicht funktioniert.
Aber warum es genau für die 5 klappt, kann ich nicht begründen, geschweige denn beweisen...
Muss ich denn alel Primzahlen betrachten? Ich habe mir überlegt, dass ich mir die Stelle [mm] a_{0} [/mm] angucke und für a die Zahlen 1,3,7,9 einsetze (also alle ungeraden, weil bei den geraden Zahlen ja keine PZ entstehen können). Dann ergibt sich für die [mm] a_{0} [/mm] der Summen Vielfache von 5, sodass sie keine PZ sein können. So habe ich es gemeint :)
Beste Grüße
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> Guten Morgen Dieter :o)
>
> Vielen Dank für deine Erklärung.
> ich habe nun noch ein paar Fragen:
>
> Warum muss ich p+12 nicht näher betrachten? Weil der Rest 2
> ist, wie für p+2?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, der Rest bei Division durch 5 ist gleich.
Der Einfachheit halber nehme ich p+12 für meine Überlegungen aber dazu.
>
> Mir ist immer noch unklar, warum die Bedingungen nur für
> die 5 erfüllt sind?
> Ich habe eine Tabelle angefertigt und festgestellt, wenn
> ich andere Primzahlen für p einsetze, die verschieden von 5
> sind, dass das nicht funktioniert.
Ich weiß nicht, wie Deine Tabelle aussieht.
Du suchst ja eine Primzahl p so, daß p+2, p+6, p+8, und p+14 auch Primzahlen sind.
Schau die Reste bei Division durch 5 an.
p kann den Rest 0,1,2,3,4 haben.
Du kannst nun für jeden der Reste von p die entsprechenden Reste von p+2, p+6, p+8, und p+14 auflisten.
Rest von p: 0
Rest von p+2: 2
Rest von p+6: 1
Rest von p+8:
Rest von p+12:
Rest von p+14:
Rest von p: 1
Rest von p+2: 3
Rest von p+6:
Rest von p+8:
Rest von p+12:
Rest von p+14:
Rest von p: 2
Rest von p+2: 4
Rest von p+6:
Rest von p+8:
Rest von p+12:
Rest von p+14:
Rest von p: 3
Rest von p+2: 0
Rest von p+6:
Rest von p+8:
Rest von p+12:
Rest von p+14:
Rest von p: 4
Rest von p+2: 1
Rest von p+6:
Rest von p+8:
Rest von p+12:
Rest von p+14:
Du wirst sehen, in jeder "Staffel" außer der ersten kommt einmal der Rest 0 für eine Zahl, die größer als 5 ist, vor.
Gibt es aber eine Primzahl, die größer als 5 ist und teilbar durch 5?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Auch dir vielen Dank für deine Mühe!
Verstehe ich deine Tabelle richtig, dass du p=4 als PZ einsetzt? Das würde ja nicht passen, weil p selbst auch prim sein muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 16.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi, jetzt bin ich wieder dran...
> Verstehe ich deine Tabelle richtig, dass du p=4 als PZ
> einsetzt? Das würde ja nicht passen, weil p selbst auch
> prim sein muss...
Angela hat für p keine Zahl eingesetzt! Sie nimmt ein beliebiges p und sagt sich: Irgend einen Rest muß dieses p ja lassen. Ich kenne ihn nicht, weil ich p ja nicht kenne, aber es gibt nur 5 Möglichkeiten für den Rest, und diese 5 Möglichkeiten trägt sie in die Tabelle ein. Wenn ich aber den Rest von p kenne, dann kann ich den Rest von p+2 (z.B.) ausrechnen. Das tue ich und trage ihn auch ein. Usw. usw.
Nachträglich auch noch
Dieter
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Danke schön :)
aber mir ist immer noch nicht klar, warum die Bedingungen gerade für p=5 erfüllt sind....
5 ist die einzige Zahl und dass es weitere solcher "Folgen" gibt, scheitert daran, dass mind. 1 Element einer Folge durch 5 teilbar ist...
Gibt es einen Zusammenhang zwischen der 5 und dem Scheitern?
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> Danke schön :)
>
> aber mir ist immer noch nicht klar, warum die Bedingungen
> gerade für p=5 erfüllt sind....
> 5 ist die einzige Zahl und dass es weitere solcher
> "Folgen" gibt, scheitert daran, dass mind. 1 Element einer
> Folge durch 5 teilbar ist...
>
> Gibt es einen Zusammenhang zwischen der 5 und dem
> Scheitern?
Hallo,
warum es für andere Zahlen scheitert, sagen Dir doch die angelegten Tabellen: weil immer - außer bei der ersten Tabelle - ein zu großes Vielfaches von 5 vorkäme, und k*5 ist für [mm] k\not=1 [/mm] nunmal keine Primzahl.
Bleibt also nur die Möglichkeit [mm] p\equiv [/mm] 0 (mod 5) übrig.
Da aber p eine Primzahl sein soll, scheiden auch hier alle anderen Vielfachen der 5 aus, und p=1*5=5 bleibt als einzige Möglichkeit übrig.
Gruß v. Angela
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