Primzahlen - Gruppe? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 27.02.2009 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Zeige, dass (Zp \ {0} , [mm]\times[/mm]) eine kommutative Gruppe ist.
(p ist Primzahl) |
Also ich hab soweit verstanden warum (Z \ {0} , [mm]\times[/mm]) keine Gruppe ist.
Das neutrale Element sollte auch hier bzgl. der Multiplikation 1 sein.
Assoziativität und Kommutativität liegen auch vor.
Nun verstehe ich allerdings nicht, was hier das inverse Element ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo ggT und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeige, dass (Zp \ {0} , [mm]\times[/mm]) eine kommutative Gruppe
> ist.
> (p ist Primzahl)
> Also ich hab soweit verstanden warum (Z \ {0} , [mm]\times[/mm])
> keine Gruppe ist.
>
> Das neutrale Element sollte auch hier bzgl. der
> Multiplikation 1 sein. (genauer [mm] $\overline{1}$)
[/mm]
> Assoziativität und Kommutativität liegen auch vor.
>
> Nun verstehe ich allerdings nicht, was hier das inverse
> Element ist.
Du kannst das Inverse zu einem beliebigen Element [mm] $\overline{x}\in\IZ/p\IZ\setminus\{\overline{0}\}$ [/mm] konstruieren und damit dessen Existenz zeigen:
Dazu nimm dir ein beliebiges [mm] $\red{\overline{x}}\in\IZ/p\IZ\setminus\{\overline{0}\}$ [/mm] her
Da [mm] $\IZ/p\IZ\setminus\{\overline{0}\}$ [/mm] endlich ist, sind [mm] $\overline{x}, \overline{x}^2, \overline{x}^3,...$ [/mm] nicht alle verschieden
Dh. es gibt [mm] $r,s\in\IN$ [/mm] mit r<s und [mm] $\overline{x}^r=\overline{x}^s$
[/mm]
Also [mm] $\overline{x}^s-\overline{x}^r=\left(\overline{x}^{s-r}-\overline{1}\right)\cdot{}\overline{x}^r=\overline{0}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\IZ/p\IZ\setminus\{\overline{0}\}$ [/mm] ein Integritätsring, also [mm] $\left(\overline{x}^{s-r}-\overline{1}\right)=\overline{0}$
[/mm]
Damit [mm] $\overline{x}^{s-r}=\red{\overline{x}}\cdot{}\overline{x}^{s-r-1}=\overline{1}$
[/mm]
Also hat unser beliebig gewähltes [mm] $\overline{x}$ [/mm] ein Inverses
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
|
