Primzahlen in Q(wurzel(d)) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm] \xi \in [/mm] R = [mm] \IZ [\bruch{1+\wurzel{d}}{2}] [/mm] und [mm] N(\xi) [/mm] gerade, so folgt: 2 | [mm] \xi [/mm] |
Dies ist ein kleiner Hilfssatz innerhalb eines größeren Beweis, bei dem Kriterien gezeigt werden, unter denen rationale Primzahlen in quadratischen Erweiterungen prim bleiben.
Die Vorraussetzungen sind hier: d ist ungerade und quadratfrei und d [mm] \equiv [/mm] 5 mod 8
Im Beweis werden zwei Fälle unterschieden und nur der erste bereitet mir Kopfschmerzen:
[mm] \xi [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (x+y\wurzel{d)} [/mm] mit x und y ungerade. Dann gilt für die Norm [mm] N{\xi} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(x^2 [/mm] - [mm] dy^2) [/mm] also [mm] y^2 [/mm] - [mm] dy^2 [/mm] durch 8 teilbar, d.h [mm] x^2 \equiv dy^2 [/mm] mod 8. Da y mod 8 invertierbar und d [mm] \equiv [/mm] 5 kein quadratischer Rest mod 8 ist, kann dieser Fall nicht auftreten.
Den Teil verstehe ich nicht. Also, dass mit dem d [mm] \equiv [/mm] 5 kein quadratischer Rest mod 8 ist habe ich überprüft, aber ich weiß nicht, was mit y mod 8 invertierbar und was sich daraus ergibt gemeint ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist [mm]\xi \in[/mm] R = [mm]\IZ [\bruch{1+\wurzel{d}}{2}][/mm] und [mm]N(\xi)[/mm]
> gerade, so folgt: 2 | [mm]\xi[/mm]
Wie ist denn der Ring R genau definiert? Und wie Nrom N?
> Den Teil verstehe ich nicht. Also, dass mit dem d [mm]\equiv[/mm] 5
> kein quadratischer Rest mod 8 ist habe ich überprüft,
> aber ich weiß nicht, was mit y mod 8 invertierbar und was
> sich daraus ergibt gemeint ist.
Weil dann [m](x*y^{-1})^2=d\,\mod 8[/m] gelten würde, also d doch ein quadratischer Rest wäre.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Mo 19.04.2010 | | Autor: | hero_alex |
R ist der Ring der ganzen Zahlen in einem quadratischen Zahlkörper [mm] \IQ(\wurzel{d}).
[/mm]
Die Norm ist definiert als [mm] N(\xi) [/mm] = [mm] \xi [/mm] * [mm] \sigma(\xi) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] dy^2 [/mm] ,
wobei [mm] \sigma [/mm] die Konjugation ist, also [mm] \sigma(\xi) [/mm] = [mm] x-y\wurzel{d} [/mm] für ein [mm] \xi [/mm] = [mm] y+y\wurzel{d}
[/mm]
Habe ich das so verstanden, dass [mm] y^{-1} [/mm] einfach von rechts "ranmultipliziert wird (2x) damit es auf der rechten Seite verschwindet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Habe ich das so verstanden, dass [mm]y^{-1}[/mm] einfach von rechts
> "ranmultipliziert wird (2x) damit es auf der rechten Seite
> verschwindet?
Ja. Und: was ist eigtl. eine rationale Primzahl?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:08 Di 20.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Habe ich das so verstanden, dass [mm]y^{-1}[/mm] einfach von rechts
> > "ranmultipliziert wird (2x) damit es auf der rechten Seite
> > verschwindet?
>
> Ja. Und: was ist eigtl. eine rationale Primzahl?
Das ist eine Primzahl in [mm] $\IZ$. [/mm] Sozusagen die (positiven) Primelemente des Ring der ganzen Zahlen des rationalen Zahlkoerpers.
LG Felix
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