Primzahlen und Beweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:56 Sa 11.12.2004 | | Autor: | newbie |
Wir haben einige Aufgaben und ich habe auch zu jeder eine Lösung, nur bin ich teilweise am überlegen, ob es wirklich so "einfach" ist, ob es sozusagen so geht...
[mm] a\equiv_{n}b [/mm] steht für [mm] a\equiv [/mm] b mod n
1. Wir sollen zeigen, dass die Summe eines Primzahl-Zwillingspaares, welches die 3 nicht enthält, immer durch 12 teilbar ist. Paare im Sinne von p und p+2 (p=Primzahl).
12 soll also die summe von p und p+2 teilen [mm] \Rightarrow [/mm] 12|(p+p+2) [mm] \Rightarrow [/mm] 12|(2p+2) [mm] \Rightarrow \bruch{2p+2}{12}=n (n\ge1) \gdw [/mm] 12n=2p+2 [mm] \gdw [/mm] 6n-1=p
Es gibt nun zwei Fälle, einmal das p und p+2 keine Primzahlen sind (der Fall der uns nicht interessiert) und einmal das p und p+2 Primzahlen sind. Sind sie Primzahlen, so sind sie zusammen auch immer durch 12 teilbar, wie gezeigt wurde.
Geht das?
2. Hier sollten wir zeigen, dass es außer der 3,5,7 keine Primzahldrillinge (p,p+2,p+4) gibt.
Wir haben in der Lösung geschrieben: nach Voraussetzung hat p bei Division mit 3 den Rest 1 oder 2 und darauf aufgebaut, nun frage ich mich, wie man darauf kommt und ob man das nicht noch vorher beweisen muss... der restliche Beweis sieht dann so aus:
[mm] p\equiv_{3}1 \Rightarrow p+2\equiv_{3}0 \Rightarrow [/mm] p+2 ist keine Primzahl
[mm] p\equiv_{3}2 \Rightarrow p+2\equiv_{3}1 \Rightarrow p+4\equiv_{3}0 \Rightarrow [/mm] p+4 ist keine Primzahl
[mm] \Rightarrow [/mm] einziger Primzahldrilling ist (3,5,7)
3. Hier sollten wir zeigen, dass außer der 2 keine Zahl der Form [mm] n^{3}+1 [/mm] eine Primzahl ist.
[mm] n^{3}+1=n( n^{2}+ \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow n^{2}+\bruch{1}{n} [/mm] muss ganze Zahl sein [mm] \Rightarrow [/mm] n=1 ??? also so geht es doch nun wirklich nicht, oder????
Mein Ansatz war ursprünglich:
Ich kann n ausklammern, also muss gelten n|p [mm] \Rightarrow [/mm] n muss gleich eins oder p sein, ansonsten keine Primzahl [mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \not=p^{3}+1 \Rightarrow [/mm] n=1, nur dann kam jemand mit den vorher genannten "Beweis" und dann hab ich mir gesagt, dass es wohl so doch nicht geht :-/
Die anderen beiden Aufgaben werde ich glaube ich besser morgen schreiben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, newbie
1)ok
2)
braucht wohl nicht extra bewiesen zu werden:
bei Rest 0 wär es keine Primzahl,
bei Rest>2 wär die Divsion nicht vollendet
3)
führe mal die Polynomdivision
(n³+1) : (n+1) durch
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