Primzahlordnung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und [mm] \nu_{p}(a) [/mm] die p-Ordnung von a [mm] \in \IQ. [/mm] Beweisen Sie: Wenn [mm] \nu_{p}(a) \not= \nu_{p}(b) [/mm] für a,b [mm] \in \IQ, [/mm] dann ist [mm] \nu_{p}(a+b)= [/mm] min{ [mm] \nu_{p}(a),\nu_{p}(b) [/mm] }. |
Ich habe folgendes schonmal versucht:
Sei a = [mm] p^{\nu_{p}(a)}*\bruch{n}{m} [/mm] , b = [mm] p^{\nu_{p}(b)}*\bruch{n'}{m'}
[/mm]
a+b = [mm] p^{\nu_{p}(a)}*\bruch{n}{m} [/mm] + [mm] p^{\nu_{p}(b)}*\bruch{n'}{m'}
[/mm]
= [mm] p^{\nu_{p}(a)}*(\bruch{n}{m}+p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}}*\bruch{n'}{m'})
[/mm]
= [mm] \bruch{p^{\nu_{p}(a)}*(nm'+n'm*p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}})}{mm'}
[/mm]
In der Primfaktorzerlegung taucht jetzt p mindestens mit dem Exponenten [mm] p^{\nu_{p}(a)} [/mm] auf, während der Nenner überhaupt nicht durch p teilbar ist.
Und nun häng ich ein wenig. Wie komm ich mit [mm] \nu_{p}(a) \not= \nu_{p}(b) [/mm] auf
[mm] \nu_{p}(a+b)= [/mm] min{ [mm] \nu_{p}(a),\nu_{p}(b) [/mm] }?
Um Hilfe wär ich sehr dankbar :)
Liebe Grüße
Mariana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Mariana!
> Sei p eine Primzahl und [mm]\nu_{p}(a)[/mm] die p-Ordnung von a [mm]\in \IQ.[/mm]
> Beweisen Sie: Wenn [mm]\nu_{p}(a) \not= \nu_{p}(b)[/mm] für a,b [mm]\in \IQ,[/mm]
> dann ist [mm]\nu_{p}(a+b)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
min{ [mm]\nu_{p}(a),\nu_{p}(b)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
>
> Ich habe folgendes schonmal versucht:
Nimm doch ohne Einschraenkung an $\nu_p(b) > \nu_p(a)$.
> Sei a = [mm]p^{\nu_{p}(a)}*\bruch{n}{m}[/mm] , b =
> [mm]p^{\nu_{p}(b)}*\bruch{n'}{m'}[/mm]
>
> a+b = [mm]p^{\nu_{p}(a)}*\bruch{n}{m}[/mm] +
> [mm]p^{\nu_{p}(b)}*\bruch{n'}{m'}[/mm]
>
> =
> [mm]p^{\nu_{p}(a)}*(\bruch{n}{m}+p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}}*\bruch{n'}{m'})[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{p^{\nu_{p}(a)}*(nm'+n'm*p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}})}{mm'}[/mm]
>
> In der Primfaktorzerlegung taucht jetzt p mindestens mit
> dem Exponenten [mm]p^{\nu_{p}(a)}[/mm] auf, während der Nenner
> überhaupt nicht durch p teilbar ist.
Ja. Und im Zaehler ist $n m'$ ebenfalls nicht durch $p$ teilbar, [mm] $n'm*p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}})$ [/mm] aber schon (nach der Annahme). Ist also $n m' + [mm] n'm*p^{\nu_{p}(b)-p^{\nu_{p}(a)}})$ [/mm] durch $p$ teilbar?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Aber wenn ich [mm] \nu_{p}(a) [/mm] < [mm] \nu_{p}(b) [/mm] nehme, dann folgt doch:
[mm] \nu_{p}(a+b) \ge \nu_{p}(a) [/mm] = min{ [mm] \nu_{p}(a),\nu_{p}(b) [/mm] }?
Es muss doch Gleichheit gelten, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber wenn ich [mm]\nu_{p}(a)[/mm] < [mm]\nu_{p}(b)[/mm] nehme, dann folgt
> doch:
>
>
> [mm]\nu_{p}(a+b) \ge \nu_{p}(a)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= min{ [mm]\nu_{p}(a),\nu_{p}(b)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}?
>
> Es muss doch Gleichheit gelten, oder?
Gilt ja auch.
LG Felix
|
|
|
| |
|
D.h. wenn ich
[mm] \nu_{p}(a+b) \ge \nu_{p}(a) \ge [/mm] min{ [mm] \nu_{p}(a),\nu_{p}(b) [/mm] }
zeige, ist die Aufgabe gelöst? Was ich dann doch hab, oder? ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> D.h. wenn ich
>
> [mm]\nu_{p}(a+b) \ge \nu_{p}(a) \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
min{ [mm]\nu_{p}(a),\nu_{p}(b)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> zeige, ist die Aufgabe gelöst? Was ich dann doch hab, oder?
> ^^
Nein, damit ist sie nicht geloest. (Dass diese Beziehung gilt wusstest du vermutlich eh schon vorher.)
Aber mit dem was ich dir in der ersten Antwort genannt hab und mit dem was du davor gemacht hast hast du es schon fast geloest.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Mariana12 |
Hmmm, ich versuch mal mit deinen Tipps weiter zu kommen. Danke
Liebe Grüße
Mariana
|
|
|
|
