Prinzip der Inklusion und Exkl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10-maligem Würfeln nicht alle 6 Augenzahlen zu werfen?
Hinweis: Betrachten Sie das Ereignis [mm] E_i, [/mm] i = 1, . . . , 6, dass i in den 10 Würfen nicht vorkommt, und begründen Sie P(E1 ∩· · ·∩Ei) = (6 − i)^10/6^10. |
Hallo Leute,
habe da als Musterlösung:
[mm] P(E_1\cup...\cup E_6)=6*(\bruch{5}{6})^{10}-{6 \choose 2}*(\bruch{4}{6})^{10}+{6 \choose 3}*(\bruch{3}{6})^{10}-{6 \choose 4}*(\bruch{4}{6})^{10}+{6 \choose 5}*(\bruch{1}{6})^{10}
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum hier das Prinzip der Inklusion und Exklusion verwendet wurde, [mm] 6*(\bruch{5}{6})^{10} [/mm] stellt doch die Wahrscheinlichkeit da, in 10 Würfen eine bestimmte Zahl nicht zu würfeln warum muss ich davon die Wahrscheinlichkeit abziehen {6 [mm] \choose 2}*(\bruch{4}{6})^{10}, [/mm] 2 bestimmte Zahlen nicht zu würfeln?
Ich hoffe mir kann da jemand helfen, danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 16.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Inklusions-Exklusionsformel geht ja ungefähr so:
[mm] P(E_1 \cup \ldots \cup E_6)=P(E_1)+\ldots+P(E_6)-P(E_1 \cap E_2)-P(E_1 \cap E_3)-\ldots -P(E_5 \cap E_6)+P(E_1 \cap E_2 \cap E_3)+\ldots+P(E_4 \cap E_5 \cap E_6)-\ldots
[/mm]
Der Faktor [mm] 6\cdot{}(\bruch{5}{6})^{10} [/mm] entspricht also [mm] P(E_1)+\ldots+P(E_6), [/mm] weil [mm] P(E_i) [/mm] alle die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Ferner wird das benutzt, was du noch zeigen sollst. Der zweite Faktor kommt dann von den Termen der Form [mm] P(E_i \cap E_j). [/mm] Davon gibt es [mm] \vektor{6\\2} [/mm] Stück die auch alle immer gleich Wahrscheinlich sind usw.
Ist das klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Achja, das war das, stimmt, wenn ich [mm] E_1 [/mm] mit [mm] E_2-E_6 [/mm] schneide habe ich 5, dann [mm] E_2 [/mm] mit [mm] E_3-E_6 [/mm] habe ich 4 usw, ingesamt als 5+4+3+2+1 was genau 6 über 2 entspricht.
Dann verstehe ich soweit, was gerechnet wurde, aber warum gilt hier überhaupt die Formel? Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, ich habe ja am Anfang die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Zahl nicht fällt sprich [mm] E_1+...+E_6, [/mm] warum ist das noch zuviel? Wie kann ich mir denn z.B. [mm] E_1 \cap E_2 [/mm] vorstellen, stochastisch gesehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 16.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Das Problem ist, dass sich die [mm] E_i [/mm] alle teilweise überschneiden. Nehmen wir mal [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_3. [/mm] In [mm] E_1 [/mm] ist z.B. das Ergebnis (2,2,5,4,5,6,4,2,5,6), denn da ist keine 1 gefallen. Dieses Ergebnis steckt aber auch in [mm] E_3 [/mm] drinnen. Addierst du nun alle Wahrscheinlichkeiten einfach, d.h. [mm] P(E_1)+...+P(E_6), [/mm] dann zählst du solche Ergebnisse immer doppelt und du kommst am Ende auf eine zu hohe Wahrscheinlichkeit, oder sogar noch schlimmer: auf etwas, was größer als 1. Daher musst du die doppelt gezählten Sachen, die Ergebnisse die in Schnittmengen der [mm] E_i [/mm] liegen, wieder abziehen. Beim Abziehen ziehst du aber allerdings auch wieder zu viele Ergebnisse ab, nämlich solche, die in 3 [mm] E_i [/mm] liegen, daher muss man diese wieder draufaddieren usw. Daher kommt dieses wechselnde Vorzeichen.
Vielleicht kannst du dir auch nochmal ![[]](/images/popup.gif) das hier angucken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 16.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Deine Erklärungen sind echt klasse, habe ich bis jetzt immer verstanden, wollte ich nur mal erwähnen, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 16.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem und vielen Dank. :)
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