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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer im Intervall [a; b] gleichverteilten Zufallsvariablen [mm] (-\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty [/mm] ) |
Liebe User,
nachdem ich hier eher schwierige Fragen bezüglich Zufallsvektoren gepostet habe, stehe ich nun vor einer sehr sehr einfachen Aufgabe, welche ich nicht ganz zu interpretieren vermag.
Ich habe folgendes Problem : Ich nehme an, dass diese Gleichverteilung meint, dass man für jedes Ereigniss die selbe Wahrscheinlichkeit erhält : Nähmlich (b-a)^(-1) . Nachdem ich diese Funktion mit "x" Multipliziert habe muss ich diese ja laut Formel von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] integrieren. Hierbei nehme ich an, dass sowohl b als auch a Konstanten sind, welche beliebige jedoch feste Werte annehmen können. x iontegriert ergibt [mm] 0.5x^2 [/mm] . ==> Da diese Funktion jedoch ins Unendliche geht, komme ich nicht weiter.
Mein Kumpel hat mir gesagt, ich solle es versuchen, von a nach b zu integrieren - sollte das stimmen (was ich dann nicht verstehe) - warum ausgerechnet von a nach b ?
BITTE BITTE BITTE Helft mir, diese Aufgabe zu verstehen 
MFG,
euer KGB-Spion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:28 Di 30.09.2008 | | Autor: | Disap |
> Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer im
> Intervall [a; b] gleichverteilten Zufallsvariablen [mm](-\infty[/mm]
> < a < b < [mm]\infty[/mm] )
> Liebe User,
Hallo KGB-Spion.
>
> nachdem ich hier eher schwierige Fragen bezüglich
> Zufallsvektoren gepostet habe, stehe ich nun vor einer sehr
> sehr einfachen Aufgabe, welche ich nicht ganz zu
> interpretieren vermag.
> Ich habe folgendes Problem : Ich nehme an, dass diese
> Gleichverteilung meint, dass man für jedes Ereigniss die
> selbe Wahrscheinlichkeit erhält : Nähmlich (b-a)^(-1) .
> Nachdem ich diese Funktion mit "x" Multipliziert habe muss
> ich diese ja laut Formel von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm]
> integrieren. Hierbei nehme ich an, dass sowohl b als auch a
> Konstanten sind, welche beliebige jedoch feste Werte
> annehmen können. x iontegriert ergibt [mm]0.5x^2[/mm] . ==> Da diese
> Funktion jedoch ins Unendliche geht, komme ich nicht
> weiter.
Das ist zwar nicht mein Gebiet und ich habe davon keine Ahnung. Aber irgendwie klingt es für mich so, als wolltest du die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung herleiten. Sollst du doch gar nicht machen. Du sollst die Varianz und den Erwartungswert (der Gleichverteilung) im Intervall [a,b] berechnen.
> Mein Kumpel hat mir gesagt, ich solle es versuchen, von a
> nach b zu integrieren - sollte das stimmen (was ich dann
> nicht verstehe) - warum ausgerechnet von a nach b ?
WENN du etwas (Erwartungswert, Varianz) im Intervall [a,b] (bei Gleichverteilung) bestimmen sollst, dann ist es naheliegend, das auch zu benutzen (d. h. wenn der Weg denn zum Ziel führt).
Auch wenn das blöd klingt - aber die Herleitung des Erwartungswertes und Varianz (zur Fertigformel) der Gleichverteilung findet man bestimmt in fast jedem Skript und fast überall im Internet (wobei ich jetzt nicht gesucht)
Oder ich habe die Aufgabe falsch verstanden
Viele Grüße, Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Denis,
ich denke, es ist einfacher fuer dich, wenn du dir die Dichte der GV
ansiehst. Sie ist fuer *feste* Zahlen [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $-\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty [/mm] $
gegeben durch $f(x)=1/(b-a)$ fuer $a<x<b$ und $f(x)=0$. Der
Begriff GV ruehrt daher, da alle Intervallwahrscheinlichkeiten
gleichlanger Intervalle identisch sind, formal [mm] $P(x
fuer alle Zahlen $x,y$ und [mm] $\Delta>0$ [/mm] mit [mm] $a
Kommst du mit diesen Informationen nun klar?
vg Luis
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Also erstmal - DANKE !!!
Mit den Infos ist mir schon ein Licht aufgegangen, ich habe auch in einem Script gesucht und folgendes gefunden ==> "Bei einer stetigen Funktion kann man den Erwartungswert bestimmen, indem man diese mit der Variablen der Verteilung multipliziert und anschliessend von - Unendlich bis nach Unendlich integriert". (ich habe es einwenig umformuliert) - sowas ähnliches steht auch im Papula III (S.334 ff.)
Aber dann ist doch der Erwartungswert gar nicht vorhanden oder ? ==> Er geht ins Unendliche ?
Oder soll ich wirklich von a nach b integrieren ?
BITTE HELFT MIR - es bedarf nicht mehr viel um diese Aufgabe zu lösen, da Ihr mir viele Infos gegeben habt, mit denen ich weitergekommen bin
MFG,
Denis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
> Aber dann ist doch der Erwartungswert gar nicht vorhanden
> oder ? ==> Er geht ins Unendliche ?
Doch, es kann naemlich sein, dass beispielsweise der Grenzwert
[mm] $\int_{a}^\infty xf(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{a}^b xf(x)\,dx$
[/mm]
existiert.
>
> Oder soll ich wirklich von a nach b integrieren ?
Ich rechne es dir mal exemplarisch vor:
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}[X]
&=&\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx \\
&=&\int_{a}^{b} \dfrac{x}{b-a} \,dx \\
&=&\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x \,dx \\
&=&\dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_a^b \\
&=&\dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)} \\
&=&\dfrac{a+b}{2}
\end{matrix}
[/mm]
Das 2. Gleichheitszeichen folgt wegen $f(x)=0$ fuer [mm] $x\notin(a,b)$
[/mm]
Das macht auch Sinn: Der Erwartungswert ist die Mitte des Intervalls $(a,b)$.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Di 30.09.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Also ganz ehrlich : Darauf wäre ich nicht gekommen. Es stimmt und wird erst nach Zeit einleuchtend aber ja - so hab ichs verstanden . Diese Integrationsschranken nehmen einfach die für x vorgegebenen Werte an. Daher auch von a nach b integrieren, so wie Du es gemacht hast.
Bin tiefst zu Dank verpflichtet  Ich habe am Montag die Klausur und das ist / war das vorletzte Blatt - das letzte ist so eine Art Wiederholung und daher nicht sonderlich schwer.
Vielen Dank für die Hilfe.
MFG,
Denis
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