Problem bei Auflösung:Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Hallo!
Versuche, die DGL x'=xy mit y(0)=1 zu lösen.
Habe mit dem Picard-Lind.Iterationsverfahren angefangen: Die Iterationsvorschrift: [mm] \partial_{k+1}(x)=1+2 \*\integral_{0}^{x} [/mm] {t [mm] \*\partial_{k}(x) [/mm] dt}
ergibt dann [mm] \partial_{k}(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k} x^{2 \*i}. [/mm]
Das habe ich per Induktion bewiesen. Doch nun habe ich den totalen Blackout: Welchen Wert ergibt dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{k} x^{2 \*i} [/mm] ???
Muss ich da eine Fallunterscheidung x=0 und 0<x<1 und x=1 und x>1 machen? Und was ist mit den negativen x?
Vielen Dank für DEINE Hilfe!
Brinchen
|
|
| |
|
Du bist ja sehr fleißig am lernen.Denn fast jede 2. Frage, die ich heute gelesen hab, ist von dir :-P Steht was wichtiges an oder ist der Fleiß normal bei dir?
> Hallo!
>
> Versuche, die DGL x'=xy mit y(0)=1 zu lösen.
>
> Habe mit dem Picard-Lind.Iterationsverfahren angefangen:
> Die Iterationsvorschrift: [mm]\partial_{k+1}(x)=1+2 \*\integral_{0}^{x}[/mm]
> t [mm]\*\partial_{k}(x)[/mm] dt
> ergibt dann [mm]\partial_{k}(x)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{k} x^{2 \*i}.[/mm]
Bis hierhin muss ich dir glauben, denn das hab ich noch nie gehört.
> Das habe ich per Induktion bewiesen. Doch nun habe ich den
> totalen Blackout: Welchen Wert ergibt dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{k} x^{2 \*i}[/mm] ???
>
> Muss ich da eine Fallunterscheidung x=0 und 0<x<1 und x=1
> und x>1 machen? Und was ist mit den negativen x?
Du hast ja eine Summe über [mm] x^2 [/mm] hoch i.
Durch das Quadrieren erübrigt sich die gesonderte Behandlung der negativen Werte!
Für [mm] x^2 [/mm] = 1 und [mm] x^2 [/mm] >1, also |x| = 1 und |x| > 1 wird die Summe auf jeden Fall divergieren.
Für [mm] x^2 [/mm] echtkleiner als 1(|x| < 1) allerdings sind die Voraussetzungen für eine geometrische Reihe gegeben, für die ja folgender Zusammenhang gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{k} q^{ \i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Gruß Tran
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
deine DGL erscheint mir ein wenig komisch? Nach was leitest du denn ab und welche Funktion suchst du?
Ich vermute, es sollte heißen: y'=xy ??
Wenn es so ist und du willst nur diese DGL lösen, wird das Picard-Lindelöf-Verfahren wohl auch zum Ziel führen, aber warum machst du es so umständlich?? Mit Separation der Variablen kannst du die Lösung ja praktisch sofort hinschreiben.
Gruß
|
|
|
|
