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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Di 24.09.2013 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | - Berechne folgende Summe:
[mm] \summe_{j=1}^{10} \summe_{k=j}^{10} [/mm] (2j/k) |
Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community! ;)
Ich hatte das Thema "Summen" nie in der Schule behandelt, deshalb möchte ich mich darin erst einmal einarbeiten.
Doppelsummen bereiten mir nun ein wenig Schwierigkeiten.
Könnt ihr mir helfen, folgende Doppelsumme zu lösen, indem ihr mir die Vorgehensweise detailliert und verständlich erklärt?
Ich wäre euch sehr dankbar! :)
Beste Grüße,
Christian!
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> - Berechne folgende Summe:
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> [mm]\summe_{j=1}^{10} \summe_{k=j}^{10}\ (2j/k) [/mm]
Diese Summe kann man mit einem zusätzlichen Klammer-
paar noch etwas deutlicher darstellen:
[mm]\summe_{j=1}^{10} \left(\summe_{k=j}^{10}\frac{2*j}{k}\right)[/mm]
> Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community! ;)
>
> Ich hatte das Thema "Summen" nie in der Schule behandelt,
> deshalb möchte ich mich darin erst einmal einarbeiten.
>
> Doppelsummen bereiten mir nun ein wenig Schwierigkeiten.
> Könnt ihr mir helfen, folgende Doppelsumme zu lösen,
> indem ihr mir die Vorgehensweise detailliert und
> verständlich erklärt?
> Ich wäre euch sehr dankbar! :)
>
> Beste Grüße,
>
> Christian!
Hallo Christian,
bei der Summenschreibweise handelt es sich um eine
Darstellung von Summen mit vielen (ev. sogar [mm] \infty [/mm] vielen)
Summanden, die viel Schreibarbeit spart.
So wäre etwa [mm] \summe_{j=1}^{5}j^2 [/mm] die abgekürzte Schreibweise für
die Summe
[mm] 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2
[/mm]
In deinem Beispiel einer Doppelsumme hast du als erste
(äußere) Summe auch eine mit dem Summationsindex j ,
der von 1 bis 10 laufen soll.
Jeder einzelne der 10 Summanden (einer für jeden j-Wert
von 1 bis 10) ist jetzt aber wieder eine Summe, die einen
eigenen (inneren) Summationsindex k besitzt, der jeweils
vom aktuellen j-Wert bis 10 laufen soll. Als Beispiel:
für j=7 muss das k dieser inneren (Teil-)Summe von 7
bis 10 laufen, also ist die entsprechende innere Summe:
[mm] $\summe_{k=7}^{10}\frac{2*7}{k}\ [/mm] =\ [mm] \frac{2*7}{7}+\frac{2*7}{8}+\frac{2*7}{9}+\frac{2*7}{10}$
[/mm]
Insgesamt hast du also für die gesamte Doppelsumme
eine Summe von 10 Summen, welche nach der Reihe aus
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 Summanden bestehen.
Das will ich jetzt hier nicht ausschreiben, sondern nur
die generelle Struktur andeuten:
[mm] $\left(\frac{2*1}{1}+\frac{2*1}{2}+\,.....+\frac{2*1}{10}\right)\ [/mm] +\ [mm] \left(\frac{2*2}{2}+\frac{2*2}{3}+\,.....+\frac{2*2}{10}\right)\ [/mm] +\ [mm] ............+\left(\frac{2*9}{9}+\frac{2*9}{10}\right)\ [/mm] +\ [mm] \left(\frac{2*10}{10}\right)\$
[/mm]
Alles klar ?
Dann solltest du dir nur noch für die Berechnung
etwas einfallen lassen ...
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 26.09.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo Al-Chwarizmi!
Also bisher komme ich bei der Vereinfachung so weit:
[mm] \left(\frac{2\cdot{}1}{1}+\frac{2\cdot{}1}{2}+\,.....+\frac{2\cdot{}1}{10}\right)\ [/mm] + [mm] \left(\frac{2\cdot{}2}{2}+\frac{2\cdot{}2}{3}+\,.....+\frac{2\cdot{}2}{10}\right)\ [/mm] + [mm] ............+\left(\frac{2\cdot{}9}{9}+\frac{2\cdot{}9}{10}\right)\ [/mm] + [mm] \left(\frac{2\cdot{}10}{10}\right)\
[/mm]
= [mm] \left(\frac{2\cdot{}1}{1}\right)\ [/mm] + [mm] \left(\frac{2\cdot{}1}{2} + \frac{2\cdot{}2}{2}\right)\ [/mm] + [mm] \left(\frac{2\cdot{}1}{3} + \frac{2\cdot{}2}{3} + \frac{2\cdot{}3}{3}\right)\ [/mm] + ...
Folglich komme ich auf folgende "neue" Summe:
[mm] \summe_{j=1}^{10} \left(\summe_{k=j}^{10}\frac{2\cdot{}j}{k}\right) [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{10} \left(\summe_{j=1}^{k}\frac{2\cdot{}j}{k}\right) [/mm]
Wie muss ich nun voranschreiten? Etwa (2/k) irgendwo ausklammern?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen! ;)
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> Hallo Al-Chwarizmi!
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> Also bisher komme ich bei der Vereinfachung so weit:
>
> [mm]\left(\frac{2\cdot{}1}{1}+\frac{2\cdot{}1}{2}+\,.....+\frac{2\cdot{}1}{10}\right)\[/mm]
> +
> [mm]\left(\frac{2\cdot{}2}{2}+\frac{2\cdot{}2}{3}+\,.....+\frac{2\cdot{}2}{10}\right)\[/mm]
> +
> [mm]............+\left(\frac{2\cdot{}9}{9}+\frac{2\cdot{}9}{10}\right)\[/mm]
> + [mm]\left(\frac{2\cdot{}10}{10}\right)\[/mm]
>
> = [mm]\left(\frac{2\cdot{}1}{1}\right)\[/mm] +
> [mm]\left(\frac{2\cdot{}1}{2} + \frac{2\cdot{}2}{2}\right)\[/mm] +
> [mm]\left(\frac{2\cdot{}1}{3} + \frac{2\cdot{}2}{3} + \frac{2\cdot{}3}{3}\right)\[/mm]
> + ...
>
>
> Folglich komme ich auf folgende "neue" Summe:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{10} \left(\summe_{k=j}^{10}\frac{2\cdot{}j}{k}\right)[/mm]
>
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{10} \left(\summe_{j=1}^{k}\frac{2\cdot{}j}{k}\right)[/mm]
>
>
> Wie muss ich nun voranschreiten? Etwa (2/k) irgendwo
> ausklammern?
>
> Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen! ;)
Hallo X3nion,
warum hast du denn nicht gleich von Anfang an den
gemeinsamen Faktor 2 aller Summanden nach vorne
(aus den Summationen heraus) gezogen ?
Damit hättest du bisher:
$\ [mm] 2*\summe_{j=1}^{10} \left(\summe_{k=j}^{10}\frac{j}{k}\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] 2*\summe_{k=1}^{10} \left(\summe_{j=1}^{k}\frac{j}{k}\right)$
[/mm]
Das kann man auch so schreiben:
$\ =\ [mm] 2*\summe_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{k}*\summe_{j=1}^{k} j \right)$
[/mm]
Nun steht in der Klammer der Ausdruck für das
arithmetische Mittel der natürlichen Zahlen
von 1 bis und mit k. Das kann man durch einen
ganz einfachen Term darstellen.
Dazu gibt es eine bekannte Legende:
Gauss, enfant prodige
* Fait historique ou légende, on raconte qu'à 7 ans
(ou 10 ans, selon les auteurs), Karl Gauss a trouvé
la manière de calculer la somme des nombres
de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise
de son professeur.
* Il remarqua que faire la somme deux à deux en
partant des extrémités allait plus vite:
chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit
le résultat 101 x 50 = 5 050.
LG , Al-Chwarizmi
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