Problem bei Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 18.04.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | Können Sie das Bildungsgesetz dieser Folge von Gleichungen formulieren?
1 = 0 + 1
2+3+4 = 1 + 8
5+6+7+8+9 = 8 + 27
10+11+12+13+14+15+16 = 27 + 64
Drücken Sie das Bildungsgestz mathematisch aus und beweisen Sie es. |
Hallo erstmal, hab mal wieder eine schöne Aufgabe^^
Mein Vermutung ist folgende:
[mm] $\summe_{j=(k-1)^2+1}^{k^2}=(k-1)^3+k^3$
[/mm]
So schön und gut Induktionsanfang ist ja auch kein Problem, aber der Induktionsschritt ist das Problem, weil ich mit der Summe nicht weiter arbeiten kann. Auch wenn in die Summe umschreibe, komme ich nicht weiter.
Hättet ihr eine Idee dazu?
Mfg, Damasus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 So 18.04.2010 | | Autor: | Damasus |
Eventuell ist Induktion auch nicht der richtige Ansatz.
Wenn jemand einen anderen Ansatz hat, dann möchte er diesen doch bitte posten^^
Mfg, Damasus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 18.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Können Sie das Bildungsgesetz dieser Folge von Gleichungen
> formulieren?
>
> 1 = 0 + 1
> 2+3+4 = 1 + 8
> 5+6+7+8+9 = 8 + 27
> 10+11+12+13+14+15+16 = 27 + 64
Hallo, wenn man eine ungerade Anzahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen addiert, dann ist die Summe dieser Zahlen ein Vielfaches der mittleren Zahl.
2+3+4=3+3+3=3*3
5+6+7+8+9=7+7+7+7+7=5*7
10+...+13+...+16=.....=7*13
Die nächste Summe wird 9*21 sein.
Gruß Abakus
>
> Drücken Sie das Bildungsgestz mathematisch aus und
> beweisen Sie es.
> Hallo erstmal, hab mal wieder eine schöne Aufgabe^^
> Mein Vermutung ist folgende:
> [mm]\summe_{j=(k-1)^2+1}^{k^2}=(k-1)^3+k^3[/mm]
> So schön und gut Induktionsanfang ist ja auch kein
> Problem, aber der Induktionsschritt ist das Problem, weil
> ich mit der Summe nicht weiter arbeiten kann. Auch wenn in
> die Summe umschreibe, komme ich nicht weiter.
> Hättet ihr eine Idee dazu?
>
> Mfg, Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 18.04.2010 | | Autor: | Damasus |
> Hallo, wenn man eine ungerade Anzahl von
> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen addiert, dann ist
> die Summe dieser Zahlen ein Vielfaches der mittleren Zahl.
> 2+3+4=3+3+3=3*3
> 5+6+7+8+9=7+7+7+7+7=5*7
> 10+...+13+...+16=.....=7*13
> Die nächste Summe wird 9*21 sein.
> Gruß Abakus
Jap, dass wusste ich auch, aber es soll ja das Bildungsgesetz der Gleichungen gezeigt werden. Deine Lösung ist zwar richtig, wahrscheinlich auch einfacher zu zeigen, aber es wären ein typischer Fall für "Frage nicht beatwortet"^^.
Bin immer noch nicht weiter gekommen, falls noch wer eine Idee hat...
Mfg, Damasus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch die arithmetische Summe bis [mm] k^2 [/mm] - der arthmetischen Summe bis [mm] (k-1)^2
[/mm]
benutz die Formel für die arthmetische Summe, das gibt deinen gesuchten Ausdruck
Gruss leduart
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