www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Problem bei Substitution
Problem bei Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Do 20.03.2008
Autor: Jenz

Hallo,

ich versuche gerade folgende Funktion zu integrieren:

[mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel[2]{(x^{3}+2)}} [/mm]

Bekanntlich benutze ich die Substitutionsregel, weil g(x) und g'(x) in einer Form in f(x) vorkommt.

Wenn ich t= [mm] \wurzel[2]{(x^{3}+2)} [/mm] substituiere, erhalte ich am Ende ein Ergebnis von 1/1,5 dt ohne eine Abhängigkeit von t.

Wenn ich jedoch nur t = [mm] x^{3}+2 [/mm] substituiere, erhalte ich das richtige Integral von [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{(x^{3}+2)} [/mm] + C

Woran liegt das? Darf ich NUR die Ableitung von g(x) substituieren?

Vielen Dank und schönen Abend noch.

Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.

        
Bezug
Problem bei Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Do 20.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Jens

> Hallo,
>  
> ich versuche gerade folgende Funktion zu integrieren:
>  
> [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel[2]{(x^{3}+2)}}[/mm]
>  
> Bekanntlich benutze ich die Substitutionsregel, weil g(x)
> und g'(x) in einer Form in f(x) vorkommt.
>
> Wenn ich t= [mm]\wurzel[2]{(x^{3}+2)}[/mm] substituiere, erhalte ich
> am Ende ein Ergebnis von 1/1,5 dt ohne eine Abhängigkeit
> von t. [ok]

Mache hier weiter nach Plan...

>  
> Wenn ich jedoch nur t = [mm]x^{3}+2[/mm] substituiere, erhalte ich
> das richtige Integral von [mm]\bruch{2}{3}[/mm]*[mm]\wurzel[2]{(x^{3}+2)}[/mm] + C [ok]
>  
> Woran liegt das? Darf ich NUR die Ableitung von g(x)
> substituieren?

Nein, beide Substitutionsvarianten klappen und führen genau zum selben Ergebnis

In deiner ersten Substitution [mm] $t:=\sqrt{x^3+2}$ [/mm] bekommst du nach allem Pipapo nach deinen (richtigen) Worten: [mm] $\int{\frac{1}{1,5} \ dt}$ [/mm]

Was ist denn [mm] $\frac{1}{1,5}$?? [/mm] Doch [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm]

Also hast du [mm] $\int{\frac{2}{3} \ dt}=\frac{2}{3}\cdot{}t [/mm] + C$

Wenn du das nun resubstituierst mit [mm] $t=\sqrt{x^3+2}$, [/mm] so bekommst du doch genau [mm] $...=\frac{2}{3}\cdot{}\sqrt{x^3+2} [/mm] + C$

>  
> Vielen Dank und schönen Abend noch.
>  
> Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Fr 21.03.2008
Autor: Jenz

Vielen Dank für die Antwort. Müsste ich aber für dt nicht den langen Term --- dx ( --- = Term) einsetzen und nicht nur mein substituiertes t?

Bezug
                        
Bezug
Problem bei Substitution: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Jenz!


[ok] Du musst aber [mm] $d\red{x}$ [/mm] durch [mm] $d\red{t}$ [/mm] ersetzen.

Das heißt, bei Deiner 1. Variante musst Du einsetzen:
$$dx \ = \ [mm] \bruch{2*\wurzel{x^3+2}}{3*x^2} [/mm] \ * \ dt$$

Bzw. bei Deinem 2. Rechenweg, der ebenfalls zum Ziel führt:
$$dx \ = \ [mm] \bruch{1}{3*x^2} [/mm] \ * \ dt$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Fr 21.03.2008
Autor: Jenz

Wahrscheinlich meinst du dx = ... dt.
Aber das habe ich ja auch gemacht und nach Kürzen etc. kam ich dann zb. auf 2/3 dt.
Da fehlt ja bloß noch der Wurzelterm. Aber den erreiche ich ja nicht, wenn ich dt (welches ich vorher ja definiert habe durch Umstellen) einsetze. Höchstens nur, wenn ich nur t einsetze.

PS: Ich habe immer alle x-Werte (zb. x²) mit den jeweiligen Umformungen von t ersetzt? Ist das überflüssig oder soll ich das so weiterführen? Weil ich ja am Ende "dt" im Integral stehen habe, deswegen dürfte ja kein x mehr vorkommen, sondern nur t's.

Schönen Karfreitag noch!

Bezug
                                        
Bezug
Problem bei Substitution: erst integrieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Jenz!


> Wahrscheinlich meinst du dx = ... dt.

Ups, richtig ... da hatte ich mich vertippt - ist aber nun korrigiert.


> Aber das habe ich ja auch gemacht und nach Kürzen etc. kam
> ich dann zb. auf 2/3 dt.
> Da fehlt ja bloß noch der Wurzelterm. Aber den erreiche
> ich ja nicht, wenn ich dt (welches ich vorher ja definiert
> habe durch Umstellen) einsetze. Höchstens nur, wenn ich nur
> t einsetze.

Du musst [mm] $\integral{\bruch{2}{3} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\integral{1 \ dt}$ [/mm] erst integrieren - damit erhältst Du dann wieder Dein $t_$ welches Du entsprechend ersetzen kannst.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Problem bei Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Fr 21.03.2008
Autor: Jenz

Huch, das habe ich ja ganz vergessen, obwohl ich es bei meiner 2. Variante auch gemacht: [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{3} * \bruch{1}{\wurzel{t}} dt} [/mm] = 1/3 * [ 2* [mm] \wurzel{t} [/mm] ] als Stammfunktion.

Demnach (nach Rücksubstitution erhalte ich bei dieser Variante die Lösung (wie im Ausgangsbeitrag beschrieben) erhalten.

Wie kann man bei einer Integration einfach das Integrieren vergessen ... Vielen Dank!

Bezug
                                                        
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:40 Mo 24.03.2008
Autor: Mather

Ich versteh nicht wie du auf diese Stammfunktion kommst!
wo hast du diese 2 bei 2 mal [...]

Ich habe als ergebnis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] ln(\wurzel{x^3+2}) [/mm]

Weil ich bekomme ja nachdem ich durch kürzen von t' 1/t raus und das wird doch mit ln t "integriert" oder ?

Bezug
                                                                
Bezug
Problem bei Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Mo 24.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Mather,

[willkommenmr]

> Ich versteh nicht wie du auf diese Stammfunktion kommst!
> wo hast du diese 2 bei 2 mal [...]

Leite doch [mm]2*\wurzel{t}[/mm]:

[mm]\left(2*\wurzel{t}\right)'=\left(2*{t}^{\bruch{1}{2}}\right)'=2*\bruch{1}{2}*t^{-\bruch{1}{2}}=\left(2*\wurzel{t}\right)=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]

>  
> Ich habe als ergebnis [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]ln(\wurzel{x^3+2})[/mm]

Herauskommen soll  [mm]\bruch{\red{2}}{3}*ln(\wurzel{x^3+2})[/mm].

>  
> Weil ich bekomme ja nachdem ich durch kürzen von t' 1/t
> raus und das wird doch mit ln t "integriert" oder ?

Ja, das ist bekanntlich so.

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                        
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:37 Mo 24.03.2008
Autor: Mather

erstmal danke für die nette begrüßung

ja und das ist ja mein problem ich komme nicht auf die 2/3.
das mit dem ableiten von $ [mm] 2\cdot{}\wurzel{t} [/mm] $ versteh ich jez wieder. danke das hat meinem kopf wieder gut getan die wurzel umzuwandeln :)
wie komme ich aber auf die 2/3?

[mm] \bruch{x²}{\wurzel{x³+2}} [/mm]

z=x³+2
z'=3x²

[mm] \bruch{x²}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{3x²} [/mm]

[mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{3} [/mm]

[mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dz

wenn ich das jez mit z = [mm] \wurzel{x³+2} [/mm] mache dann bekomm ich für
z'= [mm] (x³+2)^0,5 [/mm] ---> 0,5 (x³+2) 3x² wegen der kettenregel aber ich glaube jez mache ich das vollkommen falsch... *heul*
wie kommt man auf die 2/3?

Bezug
                                                                                
Bezug
Problem bei Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:58 Mo 24.03.2008
Autor: Kroni

Hi,

> erstmal danke für die nette begrüßung
>
> ja und das ist ja mein problem ich komme nicht auf die
> 2/3.
>  das mit dem ableiten von [mm]2\cdot{}\wurzel{t}[/mm] versteh ich
> jez wieder. danke das hat meinem kopf wieder gut getan die
> wurzel umzuwandeln :)
> wie komme ich aber auf die 2/3?
>
> [mm]\bruch{x²}{\wurzel{x³+2}}[/mm]
>  
> z=x³+2
>  z'=3x²

Bis hierhin stimmts.

>  
> [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3x²}[/mm]

Hier ist es schon falsch. Wenn du [mm] $z=x^3+2$ [/mm] setzt, dann musst du aber auch im ersten Bruch
[mm] $\frac{x^2}{\sqrt{z}}$ [/mm] schreiben, denn sonst hast du ja einfach die Wurzel "verschlampt".
Ist dir das bewusst? Du fasst ja nur den Term "unter der Wurzel" als ein z zusammen, die Wurzel musst du dann noch stehen lassen. Wenn du dann integrierst, bekommst du den Faktor 2 beim Integrieren der Wurzel im Nenner mit rein. Probiers einfach nochmal =)

>  
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] dz
>  
> wenn ich das jez mit z = [mm]\wurzel{x³+2}[/mm] mache dann bekomm
> ich für
>  z'= [mm](x³+2)^0,5[/mm] ---> 0,5 (x³+2) 3x² wegen der kettenregel

> aber ich glaube jez mache ich das vollkommen falsch...

Hier ist dein Fehler, dass du die [mm] $x^3+2$ [/mm] einfach so dahinschreibst. Du hast falsch abgeleitet.

Die Ableitung lautet: [mm] $dz/dx=\frac{1}{2\sqrt{x^3+2}}*3x^2$. [/mm] Jetzt einmal nach dx umstellen, das für dx einsetzen und dann ganz einfach sehen, dass sich so gut wie alles weghebt. Es wird nur noch der konst. Faktor 2/3 dastehen bleiben, dann ist das integrieren einfach =)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Probiers jetzt einfach nochmal =)

LG

Kroni

>  *heul*
> wie kommt man auf die 2/3?  


Bezug
                                                                                        
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:37 Mo 24.03.2008
Autor: Mather

Jaaaa stimmt ich hab vergessen  beim ableiten das "hoch minus einhalb" hinzuschreiben!  Dankeeee

jez habe ich

[mm] \bruch{x²}{z} [/mm] * [mm] \bruch{2\wurzel{x³+2 dz}}{3x²} [/mm]

jez küzt sich das x² weg  dann habe ich mein 2/3

aber wie geht das jez weiter?

> $ [mm] \bruch{x²}{z} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{dz}{3x²} [/mm] $ und wie komme ich auf die 2/3 wenn ich da ne wurzel hinmache...?

Tut mir leid das ich das nicht weiss :( und gute nacht

Bezug
                                                                                                
Bezug
Problem bei Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Mo 24.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Mather,

> Jaaaa stimmt ich hab vergessen  beim ableiten das "hoch
> minus einhalb" hinzuschreiben!  Dankeeee
>
> jez habe ich
>
> [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{2\wurzel{x³+2 dz}}{3x²}[/mm]
>  
> jez küzt sich das x² weg  dann habe ich mein 2/3
>  
> aber wie geht das jez weiter?


Setze [mm]z=x^3+2[/mm], denn das ist ja gerade die Subsitution, dann steht da:

[mm]\bruch{x²}{z} * \bruch{2\wurzel{x³+2}}{3x²}\ \red{dz}=\bruch{1}{z} * \bruch{2\wurzel{x³+2}}{3} \ dz=\bruch{1}{z} * \bruch{2\wurzel{z}}{3}\ dz[/mm]


>
> > [mm]\bruch{x²}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{3x²}[/mm] und wie komme ich auf die
> 2/3 wenn ich da ne wurzel hinmache...?
> Tut mir leid das ich das nicht weiss :( und gute nacht  

Gruß
MathePower


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Problem bei Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Mo 24.03.2008
Autor: Mather

[mm] \bruch{2\wurzel{z}}{3z} [/mm]

ich komm da nicht weiter :D naja vlt ist das auch nichts für ein grudkursler

trotzdem dankööööööö

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Problem bei Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mo 24.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Mather,

> [mm]\bruch{2\wurzel{z}}{3z}[/mm]
>  
> ich komm da nicht weiter :D naja vlt ist das auch nichts
> für ein grudkursler

Die Potenzgesetze sind auch was für Grundkursler.

Mit diesen Potenzgesetzen solltest Du weiterkommen.

>  
> trotzdem dankööööööö

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Problem bei Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Mo 24.03.2008
Autor: Mather

Jaaaaaaaaa ICH habs !
DANKE DANKE VIELEN DANK Ihr seid echt super :D juppi *freu*

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]