Problem beim Reihe ableiten! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!} [/mm] soll abgeleitet werden |
ja hallo zusammen,
folgendes problem, das eigentliche ableiten bekomm ich ja noch hin, so dass ich erhalte
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n}\bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n*x^{n-1}\bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n-1}\bruch{n}{n!} [/mm]
in der lösung steht jetzt : [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{(n-1)!} [/mm]
jedoch verstehe ich nicht, wieso unten auf einmal die 1 auftaucht und wo das (n-1)! herkommt
für hilfe wär ich sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Schreibe Dir vor dem Ableiten mal die ersten Glieder der Reihe auf. Da solltest Du Deine Unklarheiten schnell klären können.
Du vergisst nämlich, dass der erste Summand konstant ist und damit beim Ableiten entfällt.
Gruß
Loddar
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hey loddar, danke schonmal
ich hoffe, dass du mit erster summand den [mm] \bruch{x^{0}}{0!} [/mm] meinst, der ja folglich 1 ist und dann beim ableiten wohl wegfällt, jedoch versteh ich nich, in wie weit das auswirkungen auf die ableitung hat, ich kann ja alles nachvollziehen, bis auf den letzten schritt, wo unter summe auf einmal die 1 auftaucht und ich mir das unter dem bruch nicht erklären kann
ps: reihen und folgen sind scheisse ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Du musst die Definition der Fakultätä anwenden. Damit gilt:
$$n! \ = \ (n-1)!*n$$
Es wurde hier also schlicht und ergreifend gekürzt.
Gruß
Loddar
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oh man, ich hatte hier die ganze zeit ne falsche definition von n!, kein wunder warum ich mich dumm und dämmlich gedacht habe...
achso, nun bleibt nurnoch die frage nach der 1 unter der summe, hat das was mit der 1 zu tun, die aufgrund des ableitens verschwindet ? wen ich das noch rausgefunden habe, hab ich mein tagesziel erreicht ?!
und danke nochmals
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Hallo j_k,
> oh man, ich hatte hier die ganze zeit ne falsche definition
> von n!, kein wunder warum ich mich dumm und dämmlich
> gedacht habe...
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> achso, nun bleibt nurnoch die frage nach der 1 unter der
> summe, hat das was mit der 1 zu tun, die aufgrund des
> ableitens verschwindet ? wen ich das noch rausgefunden
> habe, hab ich mein tagesziel erreicht ?!
Nun, für $n=0$ ist der Summand in der Ausgangssumme konstant, nämlich [mm] $\frac{x^0}{0!}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
Der wird beim Ableiten zu 0, tut also als Summand in der Summe der Ableitung nicht weh und wird daher weggelassen.
Schreib dir mal die ersten 3 oder 4 Terme der Ausgangssumme hin, leite ab und schreibe dir die Summe der Ableitung auch mal hin:
mal ohne die Fakultät:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+...$
[/mm]
abgeleitet: [mm] $0+1+2x+3x^2+...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}$
[/mm]
Wenn du dir mal für n=0 den Summanden anschaust, so wäre das [mm] $0\cdot{}x^{0-1}=0\cdot{}x^{-1}=0$
[/mm]
Kannst du also weglassen ...
Wenn dir daran gelegen ist, dass die Summe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}$ [/mm] unbedingt bei $n=0$ losläuft, so kannst du das per Indexverschiebung hinbasteln.
Ernierdrige den Laufindex am Summenzeichen um 1 und gleiche das aus, indem du ihn glz. in der Summe um 1 erhöhst, also
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}x^{n}$
[/mm]
Schreibe dir ein paar Summanden hin, dann siehst du, dass beide Summen identisch sind
>
> und danke nochmals
LG
schachuzipus
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alles klar, vielen dank noch für eure antworten !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 30.05.2009 | | Autor: | AS1987 |
n!=n*(n-1)*...*2*1
damit ist n/n!=n/(n*(n-1)*..*2*1)=1/(n-1)*...*2*1)=1/(n-1)!
für den Laufindex 1 eingesetzt, da:
bei 0 würde man (-1)! betrachten, was nicht definiert ist und somit wegfällt
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