Problem mit Grenzwertsatz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine Münze wird 1000 mal geworfen. Wie groß ungefähr ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mehr als 520 mal "Kopf" zu erhalten? |
Hallo zusammen,
ich hab dabei ein paar probleme:
und zwar hätte ich zuerst einfach mit hilfe vom normalen grenzwertsatz [mm] P(Z_{1000} \ge [/mm] 521) gerechnet, jedoch ist das laut lösung schonmal falsch,
in der lösung wird der grenzwertsatz nach moivre-laplace angewendet, was wenn ich mir die definitionn dazu durchlese auch sinn ergibt, jedoch versteh ich nicht wieso und wie er benutzt wird.
und zwar hätte ich jetzt nicht gewusst was bei [mm] P(a\le [/mm] Zn [mm] \le [/mm] b) das b ist.
in der lösung steht [mm] P(521\le Z_{1000} \le [/mm] 1000)
hier wäre meine erste frage, wieso man hier die 1000 als b setzt
und dann das nächste problem, der satz ist hier definiert als :
[mm] P(a\le [/mm] Zn [mm] \le [/mm] b) [mm] \approx grossesPHI(\bruch{b+0,5-n*p}{\wurzel{n*p(1-p)}}) [/mm] - [mm] grossesPHI(\bruch{a-0,5-n*p}{\wurzel{n*p(1-p)}}) [/mm]
jedoch steht in der lösung nur [mm] \approx [/mm] 1 - [mm] grossesPHI(\bruch{521-0,5-1000*\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}}}) [/mm] = 1-grossesPHI(1,2965..)
ich hätte das nach formel gemacht und wäre im ersten schritt von auf einen wert von über 30 gekommen, wenn ich für b=1000 eingesetzt hätte, daher frage ich mich, wieso das eben so gemacht wurde ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo
> ich hab dabei ein paar probleme:
>
> und zwar hätte ich zuerst einfach mit hilfe vom normalen
> grenzwertsatz [mm]P(Z_{1000} \ge[/mm] 521) gerechnet, jedoch ist das
> laut lösung schonmal falsch,
Ist korrekt, steht auch (ungefaehr) so in der Musterloesung.
>
> in der lösung wird der grenzwertsatz nach moivre-laplace
> angewendet, was wenn ich mir die definitionn dazu durchlese
> auch sinn ergibt, jedoch versteh ich nicht wieso und wie er
> benutzt wird.
>
> und zwar hätte ich jetzt nicht gewusst was bei [mm]P(a\le[/mm] Zn
> [mm]\le[/mm] b) das b ist.
> in der lösung steht [mm]P(521\le Z_{1000} \le[/mm] 1000)
> hier wäre meine erste frage, wieso man hier die 1000 als
> b setzt
1000 Treffer ist die Maximalzahl.
>
> und dann das nächste problem, der satz ist hier definiert
> als :
>
> [mm]P(a\le[/mm] Zn [mm]\le[/mm] b) [mm]\approx grossesPHI(\bruch{b+0,5-n*p}{\wurzel{n*p(1-p)}})[/mm]
> - [mm]grossesPHI(\bruch{a-0,5-n*p}{\wurzel{n*p(1-p)}})[/mm]
>
> jedoch steht in der lösung nur [mm]\approx[/mm] 1 -
> [mm]grossesPHI(\bruch{521-0,5-1000*\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}}})[/mm]
> = 1-grossesPHI(1,2965..)
[mm] \begin{matrix}
P(521\le Z_{1000}) &=&1-P(Z_{1000}\le 520) \\
&\approx&1-\Phi\left(\dfrac{520+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right) \\
&=&1-\Phi\left(\dfrac{520.5-500}{\sqrt{250.0000}}\right) \\
&=&1-\Phi\left(\dfrac{20.5}{15.8114}\right)
\\
&=&1-\Phi\left(1.2965\right) \\
&=&1-0.9026 \\
&=&0.0974
\end{matrix} [/mm]
>
> ich hätte das nach formel gemacht und wäre im ersten
> schritt von auf einen wert von über 30 gekommen, wenn ich
> für b=1000 eingesetzt hätte, daher frage ich mich, wieso
> das eben so gemacht wurde ?!
Hier weiss ich nicht, was du meinst.
vg Luis
PS: Ist die Hochstelltaste deiner Tastatur kaputt?
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Hey, danke erstmal für deine Hilfe. Und nein, meine Hochstelltaste ist nicht kaputt^^.
Also mit dem, was du nicht verstehst, mein ich einfach das, dass ich die Werte b=1000 und a=521 in die von mir genannte Definition des Moivre-Laplace Grenzwertsatzes eingesetzt hätte, also [mm] \Phi(\bruch{1000+0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}}) [/mm] - [mm] \Phi(\bruch{521-0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}})
[/mm]
Zumindest erschien es mir so am logischsten, allerdings kommt für den ersten Teil der Gleichung dann was mit [mm] \approx [/mm] 30 raus. Jedoch wird in der Lösung auf jeglichen Zwischenschritt verzichtet, bis auf folgenden:
[mm] \approx [/mm] 1- [mm] \Phi (\bruch{521-0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}}) [/mm]
Und da hab ich dann halt keine Ahnung mehr gehabt, wieso auf einmal so herum.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hey, danke erstmal für deine Hilfe. Und nein, meine
> Hochstelltaste ist nicht kaputt^^.
Brav! 
>
> Also mit dem, was du nicht verstehst, mein ich einfach das,
> dass ich die Werte b=1000 und a=521 in die von mir genannte
> Definition des Moivre-Laplace Grenzwertsatzes eingesetzt
> hätte, also
> [mm]\Phi(\bruch{1000+0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}})[/mm]
> -
> [mm]\Phi(\bruch{521-0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}})[/mm]
Wie gesagt, 1000 ist der groesste Wert von [mm] $Z_{1000}$, [/mm] und so ist
[mm] $P(521\le Z_{1000}\le1000)$ [/mm] zu bestimmen.
>
> Zumindest erschien es mir so am logischsten, allerdings
> kommt für den ersten Teil der Gleichung dann was mit
> [mm]\approx[/mm] 30 raus. Jedoch wird in der Lösung auf jeglichen
> Zwischenschritt verzichtet, bis auf folgenden:
>
>
> [mm]\approx[/mm] 1- [mm]\Phi (\bruch{521-0,5-1000\cdot{}\bruch{1}{2}}{\wurzel{1000\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2}}})[/mm]
>
[mm] $\Phi(30)\approx1$ [/mm] ...
vg Luis
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Achso, ja vielen dank. Wir haben halt leider nur eine Tabelle bekommen, die von 0,0 bis 2,99 geht ....
Wäre es also legitim, wenn ich bei Werten >3 davon ausgehe, das es sich um 1 handelt bzw 100% ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Wäre es also legitim, wenn ich bei Werten >3 davon
> ausgehe, das es sich um 1 handelt bzw 100% ?
Ja.
vg Luis
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